什么是Logistic分布？
Logistic分布（又称逻辑斯谛分布）是一种连续型概率分布，外形与正态分布相似，但尾部更"厚"。它由一个位置参数\(\mu\)（即均值）和一个正的尺度参数\(s\)共同确定。它的累积分布函数正是大家熟悉的Logistic（Sigmoid）函数，因此该分布在统计学、机器学习（逻辑回归）以及增长模型中随处可见。本计算器属于纯数学计算，在任何国家、任何场景下结果都完全一致。
使用方法
输入你想要计算的取值\(x\)、位置参数\(\mu\)（即均值，也是分布的对称中心），以及尺度参数\(s\)（必须严格大于0）。计算器会返回三个结果：概率密度\(f(x)\)、下侧累积概率\(P(X\le x)\)，以及上侧累积概率\(P(X>x)\)。这两个累积概率之和恒等于1。
公式详解
首先计算标准化数值\(z = (x - \mu) / s\)。下侧累积分布函数为
$$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$概率密度为
$$f(x) = \frac{e^{-z}}{s\left(1 + e^{-z}\right)^{2}}$$它也等于\(F(x)(1 - F(x))/s\)。上侧概率（生存函数）为\(S(x) = 1 - F(x)\)。为了在\(|z|\)很大时保持数值稳定，Sigmoid函数会针对\(z\)为正和\(z\)为负的情况分别采用不同的算法，从而避免\(\exp()\)溢出。
计算实例
假设\(x = 2\)，\(\mu = 1\)，\(s = 2\)。则\(z = (2 - 1)/2 = 0.5\)，\(e^{-0.5} = 0.606531\)。下侧CDF为
$$F = \frac{1}{1 + 0.606531} = 0.622459$$上侧CDF为\(1 - 0.622459 = 0.377541\)。概率密度为
$$f = \frac{0.622459 \times 0.377541}{2} = 0.117493$$常见问题
尺度参数有什么作用？\(s\)越大，分布越分散，峰值越低；\(s\)越小，分布越尖锐。在\(x = \mu\)处取得的峰值密度等于\(1/(4s)\)。
\(\mu\)或\(x\)可以是负数吗？可以。\(x\)和\(\mu\)都可以取任意实数，只有\(s\)必须为正。
它与标准Logistic分布是什么关系？当\(\mu = 0\)、\(s = 1\)时，就得到标准Logistic分布；此时在\(x = 0\)处密度为0.25，两个累积概率均为0.5。
