लॉजिस्टिक वितरण क्या है?
लॉजिस्टिक वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है, जिसका आकार सामान्य (normal) वितरण जैसा होता है, लेकिन इसके दोनों सिरे (tails) ज़्यादा भारी होते हैं। इसे एक स्थान प्राचल (इसका माध्य) \(\mu\) और एक धनात्मक स्केल प्राचल \(s\) से परिभाषित किया जाता है। इसका संचयी वितरण फलन वही प्रसिद्ध लॉजिस्टिक सिग्मॉइड वक्र है — यही वजह है कि यह वितरण सांख्यिकी, मशीन लर्निंग (लॉजिस्टिक रिग्रेशन) और वृद्धि (growth) मॉडलिंग में हर जगह दिखाई देता है। यह कैलकुलेटर पूरी तरह गणित पर आधारित है और हर देश में एक समान काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
वह मान \(x\) दर्ज करें जिस पर आप वितरण का मूल्यांकन करना चाहते हैं, स्थान प्राचल \(\mu\) (माध्य, जो सममिति का केंद्र भी है), और स्केल प्राचल \(s\) जो अनिवार्य रूप से धनात्मक होना चाहिए। कैलकुलेटर तीन मान देता है: प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निचली संचयी प्रायिकता \(P(X \le x)\), और ऊपरी संचयी प्रायिकता \(P(X > x)\)। ये दोनों संचयी प्रायिकताएँ जोड़ने पर हमेशा 1 के बराबर होती हैं।
सूत्रों की व्याख्या
सबसे पहले मानकीकृत मान निकालें
$$z = \frac{x - \mu}{s}$$निचली CDF होती है
$$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$घनत्व होता है
$$f(x) = \frac{e^{-z}}{s\left(1 + e^{-z}\right)^{2}}$$जो \(F(x)(1 - F(x))/s\) के बराबर है। ऊपरी (उत्तरजीविता) प्रायिकता होती है \(S(x) = 1 - F(x)\)। बड़े \(|z|\) के लिए संख्यात्मक रूप से स्थिर बने रहने के लिए, सिग्मॉइड की गणना धनात्मक और ऋणात्मक \(z\) के लिए अलग-अलग तरीके से की जाती है, ताकि \(\exp()\) कभी ओवरफ़्लो न हो।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(x = 2\), \(\mu = 1\), \(s = 2\)। तब \(z = (2 - 1)/2 = 0.5\) और \(e^{-0.5} = 0.606531\)। निचली CDF होगी $$F = \frac{1}{1 + 0.606531} = 0.622459$$ ऊपरी CDF होगी \(1 - 0.622459 = 0.377541\)। घनत्व होगा $$f = \frac{0.622459 \times 0.377541}{2} = 0.117493$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
स्केल प्राचल क्या करता है? बड़ा \(s\) वितरण को ज़्यादा फैला देता है और शिखर को नीचा कर देता है; छोटा \(s\) इसे और तीखा बना देता है। \(x = \mu\) पर शिखर घनत्व \(1/(4s)\) के बराबर होता है।
क्या μ या x ऋणात्मक हो सकते हैं? हाँ। \(x\) और \(\mu\) दोनों कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं। केवल \(s\) का धनात्मक होना ज़रूरी है।
इसका मानक लॉजिस्टिक वितरण से क्या संबंध है? \(\mu = 0\) और \(s = 1\) लेने पर आपको मानक लॉजिस्टिक वितरण मिलता है; \(x = 0\) पर घनत्व 0.25 होता है और दोनों संचयी प्रायिकताएँ 0.5 होती हैं।
