ما هو التوزيع اللوجستي؟
التوزيع اللوجستي هو توزيع احتمالي متصل يشبه في شكله التوزيع الطبيعي، لكنه يتميز بذيول أثقل (أي احتمالات أكبر للقيم المتطرفة). ويُعرَّف بمعاملين: معامل الموقع \(\mu\) (وهو المتوسط) ومعامل المقياس الموجب \(s\). أما دالة التوزيع التراكمي الخاصة به فهي الدالة السينية (السيغمويد) اللوجستية المعروفة، ولهذا السبب نجد هذا التوزيع حاضراً في كل مكان تقريباً ضمن علم الإحصاء، وتعلُّم الآلة (الانحدار اللوجستي)، ونمذجة النمو. هذه الحاسبة قائمة على الرياضيات البحتة وتنطبق بالطريقة نفسها في أي مكان.
كيفية الاستخدام
أدخل القيمة \(x\) التي تريد عندها تقييم التوزيع، ومعامل الموقع \(\mu\) (المتوسط، وهو أيضاً مركز التماثل)، ومعامل المقياس \(s\) الذي يجب أن يكون موجباً تماماً. تُرجِع الحاسبة ثلاثة أرقام: الكثافة الاحتمالية \(f(x)\)، والاحتمال التراكمي السفلي \(P(X \le x)\)، والاحتمال التراكمي العلوي \(P(X > x)\). ومجموع الاحتمالين التراكميين يساوي دائماً 1.
شرح المعادلات
نبدأ بحساب القيمة المعيارية \(z = (x - \mu) / s\). ثم يكون التوزيع التراكمي السفلي $$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$ أما الكثافة فهي $$f(x) = \frac{e^{-z}}{s\left(1 + e^{-z}\right)^{2}}$$ وهي تساوي \(F(x)(1 - F(x))/s\). واحتمال البقاء (العلوي) هو \(S(x) = 1 - F(x)\). وللحفاظ على الاستقرار العددي عندما تكون قيمة \(|z|\) كبيرة، تُحسب الدالة السينية بطريقتين مختلفتين للقيم الموجبة والسالبة من \(z\)، حتى لا تتجاوز الداله الأسية \(\exp()\) حدود السعة العددية.
مثال محلول
لنفترض أن \(x = 2\)، \(\mu = 1\)، \(s = 2\). عندئذٍ $$z = \frac{2 - 1}{2} = 0.5$$ و \(e^{-0.5} = 0.606531\). فيكون التوزيع التراكمي السفلي $$F = \frac{1}{1 + 0.606531} = 0.622459$$ والتوزيع التراكمي العلوي \(1 - 0.622459 = 0.377541\). أما الكثافة فهي $$f = \frac{0.622459 \times 0.377541}{2} = 0.117493$$
الأسئلة الشائعة
ما الذي يفعله معامل المقياس؟ كلما كبرت قيمة \(s\) انتشر التوزيع على نطاق أوسع وانخفضت ذروته؛ وكلما صغرت قيمة \(s\) أصبح التوزيع أكثر حدّة وارتفاعاً. وتساوي الكثافة عند الذروة (أي عند \(x = \mu\)) المقدار \(1/(4s)\).
هل يمكن أن تكون \(\mu\) أو \(x\) سالبة؟ نعم. يمكن أن تأخذ كلٌّ من \(x\) و \(\mu\) أي قيمة حقيقية. أما \(s\) فيجب أن تكون موجبة فقط.
ما علاقته بالتوزيع اللوجستي القياسي؟ عندما تكون \(\mu = 0\) و \(s = 1\) نحصل على التوزيع اللوجستي القياسي؛ وعند \(x = 0\) تكون الكثافة 0.25 ويكون كلا الاحتمالين التراكميين 0.5.
