Lojistik dağılım nedir?
Lojistik dağılım, normal dağılıma benzeyen ancak kuyrukları daha kalın olan sürekli bir olasılık dağılımıdır. Bir konum parametresi (ortalaması) \(\mu\) ile pozitif bir ölçek parametresi \(s\) ile tanımlanır. Kümülatif dağılım fonksiyonu, herkesin bildiği lojistik sigmoid eğrisidir; dağılımın istatistik, makine öğrenmesi (lojistik regresyon) ve büyüme modellemesi gibi alanlarda sık sık karşımıza çıkmasının nedeni de budur. Bu hesaplama aracı tamamen matematikseldir ve her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
Dağılımı değerlendirmek istediğiniz \(x\) değerini, konum parametresi \(\mu\)'yü (ortalama, aynı zamanda simetri merkezi) ve kesinlikle pozitif olması gereken ölçek parametresi \(s\)'yi girin. Hesaplama aracı size üç sonuç verir: olasılık yoğunluğu \(f(x)\), alt kümülatif olasılık \(P(X \le x)\) ve üst kümülatif olasılık \(P(X > x)\). İki kümülatif olasılığın toplamı her zaman 1'e eşittir.
Formüllerin açıklaması
Önce standartlaştırılmış değeri hesaplayın: \(z = (x - \mu) / s\). Alt CDF şöyledir:
$$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$Yoğunluk ise
$$f(x) = \frac{e^{-z}}{s\left(1 + e^{-z}\right)^{2}}$$olup bu, \(F(x)(1 - F(x))/s\) ifadesine eşittir. Üst (sağkalım) olasılığı \(S(x) = 1 - F(x)\)'tir. Büyük \(|z|\) değerlerinde sayısal kararlılığı korumak için sigmoid, pozitif ve negatif \(z\) için farklı biçimde hesaplanır; böylece \(\exp()\) fonksiyonu hiçbir zaman taşmaz.
Örnek hesaplama
Diyelim ki \(x = 2\), \(\mu = 1\), \(s = 2\). Bu durumda \(z = (2 - 1)/2 = 0{,}5\) ve \(e^{-0{,}5} = 0{,}606531\) olur. Alt CDF:
$$F = \frac{1}{1 + 0{,}606531} = 0{,}622459$$Üst CDF: \(1 - 0{,}622459 = 0{,}377541\). Yoğunluk:
$$f = \frac{0{,}622459 \times 0{,}377541}{2} = 0{,}117493$$Sıkça sorulan sorular
Ölçek parametresi ne işe yarar? Daha büyük bir \(s\) değeri dağılımı yayar ve tepe noktasını alçaltır; daha küçük bir \(s\) ise dağılımı sivrileştirir. \(x = \mu\) noktasındaki tepe yoğunluğu \(1/(4s)\) değerine eşittir.
\(\mu\) veya \(x\) negatif olabilir mi? Evet. Hem \(x\) hem de \(\mu\) herhangi bir gerçek sayı olabilir. Yalnızca \(s\)'nin pozitif olması gerekir.
Standart lojistik dağılımla ilişkisi nedir? \(\mu = 0\) ve \(s = 1\) aldığınızda standart lojistik dağılımı elde edersiniz; \(x = 0\) noktasında yoğunluk 0,25, her iki kümülatif olasılık ise 0,5 olur.
