Qu'est-ce que la loi logistique ?
La loi logistique est une loi de probabilité continue dont la forme rappelle celle de la loi normale, mais avec des queues plus épaisses. Elle est définie par un paramètre de position (sa moyenne) \(\mu\) et un paramètre d'échelle \(s\) strictement positif. Sa fonction de répartition n'est autre que la célèbre sigmoïde logistique : c'est pourquoi on la retrouve un peu partout en statistique, en apprentissage automatique (régression logistique) et dans la modélisation de la croissance. Ce calculateur relève des mathématiques pures et s'applique exactement de la même façon partout dans le monde.
Comment l'utiliser
Saisissez la valeur \(x\) à laquelle vous souhaitez évaluer la loi, le paramètre de position \(\mu\) (la moyenne, qui est aussi le centre de symétrie) et le paramètre d'échelle \(s\), qui doit être strictement positif. Le calculateur renvoie trois résultats : la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée basse \(P(X \le x)\) et la probabilité cumulée haute \(P(X > x)\). La somme des deux probabilités cumulées vaut toujours 1.
Les formules expliquées
On calcule d'abord la valeur standardisée \(z = (x - \mu) / s\). La fonction de répartition basse est :
$$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$La densité vaut :
$$f(x) = \frac{e^{-z}}{s\left(1 + e^{-z}\right)^{2}}$$ce qui équivaut à \(F(x)(1 - F(x))/s\). La probabilité haute (fonction de survie) est :
$$S(x) = 1 - F(x) = \frac{e^{-z}}{1 + e^{-z}}$$Pour rester numériquement stable lorsque \(|z|\) est grand, la sigmoïde est calculée différemment selon que \(z\) est positif ou négatif, afin que \(\exp()\) ne provoque jamais de dépassement de capacité.
Exemple résolu
Supposons \(x = 2\), \(\mu = 1\), \(s = 2\). On a alors :
$$z = \frac{2 - 1}{2} = 0{,}5 \quad\text{et}\quad e^{-0{,}5} = 0{,}606531$$La répartition basse vaut :
$$F = \frac{1}{1 + 0{,}606531} = 0{,}622459$$La répartition haute vaut :
$$1 - 0{,}622459 = 0{,}377541$$La densité est :
$$f = \frac{0{,}622459 \times 0{,}377541}{2} = 0{,}117493$$FAQ
À quoi sert le paramètre d'échelle ? Plus \(s\) est grand, plus la loi s'étale et plus son pic s'abaisse ; plus \(s\) est petit, plus elle est resserrée et pointue. La densité maximale, atteinte en \(x = \mu\), vaut \(1/(4s)\).
\(\mu\) ou \(x\) peuvent-ils être négatifs ? Oui. \(x\) et \(\mu\) peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle. Seul \(s\) doit être positif.
Quel est le lien avec la loi logistique standard ? Avec \(\mu = 0\) et \(s = 1\), on obtient la loi logistique standard ; en \(x = 0\), la densité vaut 0,25 et les deux probabilités cumulées valent 0,5.
