Phân phối logistic là gì?
Phân phối logistic là một phân phối xác suất liên tục có hình dạng tương tự phân phối chuẩn (normal) nhưng với hai đuôi dày hơn. Nó được xác định bởi tham số vị trí (chính là giá trị trung bình) mu và tham số tỷ lệ dương s. Hàm phân phối tích lũy của nó chính là hàm sigmoid logistic quen thuộc — đó là lý do phân phối này xuất hiện rộng rãi trong thống kê, học máy (hồi quy logistic) và mô hình hóa tăng trưởng. Máy tính này hoàn toàn dựa trên toán học thuần túy nên cho kết quả như nhau ở mọi nơi.
Cách sử dụng
Nhập giá trị x mà bạn muốn đánh giá phân phối, tham số vị trí mu (giá trị trung bình, cũng là tâm đối xứng) và tham số tỷ lệ s — bắt buộc phải là số dương. Máy tính sẽ trả về ba kết quả: hàm mật độ xác suất \(f(x)\), xác suất tích lũy dưới \(P(X \le x)\) và xác suất tích lũy trên \(P(X > x)\). Tổng của hai xác suất tích lũy này luôn bằng 1.
Giải thích các công thức
Trước tiên, hãy tính giá trị chuẩn hóa \(z = (x - \mu) / s\). Hàm CDF dưới là
$$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$Hàm mật độ là
$$f(x) = \frac{e^{-z}}{s\left(1 + e^{-z}\right)^{2}}$$tương đương với \(F(x)(1 - F(x))/s\). Xác suất tích lũy trên (hàm sống sót) là
$$S(x) = 1 - F(x) = \frac{e^{-z}}{1 + e^{-z}}$$Để giữ ổn định về mặt số học khi \(|z|\) lớn, hàm sigmoid được tính theo hai cách khác nhau tùy \(z\) dương hay âm, nhờ đó hàm \(\exp()\) không bao giờ bị tràn số.
Ví dụ minh họa
Giả sử \(x = 2\), \(\mu = 1\), \(s = 2\). Khi đó \(z = (2 - 1)/2 = 0{,}5\) và \(e^{-0,5} = 0{,}606531\). Hàm CDF dưới là
$$F = \frac{1}{1 + 0{,}606531} = 0{,}622459$$Hàm CDF trên là \(1 - 0{,}622459 = 0{,}377541\). Hàm mật độ là
$$f = \frac{0{,}622459 \times 0{,}377541}{2} = 0{,}117493$$Câu hỏi thường gặp
Tham số tỷ lệ có tác dụng gì? s càng lớn thì phân phối càng trải rộng và đỉnh càng thấp; s càng nhỏ thì đường cong càng nhọn. Mật độ tại đỉnh, ở vị trí \(x = \mu\), bằng \(1/(4s)\).
mu hoặc x có thể âm không? Có. Cả x và mu đều có thể là bất kỳ số thực nào. Chỉ riêng s mới buộc phải dương.
Nó liên hệ thế nào với phân phối logistic chuẩn? Với \(\mu = 0\) và \(s = 1\) bạn thu được phân phối logistic chuẩn; tại \(x = 0\), mật độ bằng 0,25 và cả hai xác suất tích lũy đều bằng 0,5.
