로지스틱 분포란?
로지스틱 분포는 정규분포와 비슷한 종 모양을 띠지만 꼬리가 더 두꺼운 연속확률분포입니다. 위치 모수(평균) \(\mu\)와 양수인 척도 모수 \(s\)로 정의되며, 누적분포함수가 바로 잘 알려진 로지스틱 시그모이드 함수입니다. 이 때문에 로지스틱 분포는 통계학, 머신러닝(로지스틱 회귀), 성장 모형 등 다양한 분야에서 두루 등장합니다. 이 계산기는 순수한 수학 계산이므로 어느 나라에서나 동일하게 적용됩니다.
사용 방법
분포를 계산하려는 값 \(x\), 위치 모수 \(\mu\)(평균이자 대칭의 중심), 그리고 반드시 양수여야 하는 척도 모수 \(s\)를 입력하세요. 계산기는 세 가지 값을 돌려줍니다: 확률밀도 \(f(x)\), 하측 누적확률 \(P(X \le x)\), 상측 누적확률 \(P(X > x)\)입니다. 두 누적확률의 합은 언제나 1이 됩니다.
공식 풀이
먼저 표준화 값 \(z = (x - \mu) / s\)를 계산합니다. 하측 CDF는 다음과 같습니다.
$$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$확률밀도는 다음과 같으며,
$$f(x) = \frac{e^{-z}}{s\left(1 + e^{-z}\right)^{2}}$$이는 \(F(x)(1 - F(x))/s\)와 같습니다. 상측(생존) 확률은 \(S(x) = 1 - F(x)\)입니다. \(|z|\)가 큰 경우에도 수치적으로 안정적으로 계산하기 위해, \(\exp()\)가 오버플로하지 않도록 \(z\)가 양수일 때와 음수일 때 시그모이드를 다르게 계산합니다.
계산 예시
\(x = 2\), \(\mu = 1\), \(s = 2\)라고 가정해 봅시다. 그러면 \(z = (2 - 1)/2 = 0.5\)이고 \(e^{-0.5} = 0.606531\)입니다. 하측 CDF는 \(F = 1/(1 + 0.606531) = 0.622459\)입니다. 상측 CDF는 \(1 - 0.622459 = 0.377541\)입니다. 확률밀도는 \(f = 0.622459 \times 0.377541 / 2 = 0.117493\)입니다.
자주 묻는 질문
척도 모수는 어떤 역할을 하나요? \(s\)가 클수록 분포가 넓게 퍼지고 봉우리가 낮아집니다. 반대로 \(s\)가 작을수록 분포가 뾰족해집니다. \(x = \mu\)에서의 최대 밀도는 \(1/(4s)\)입니다.
mu나 x가 음수여도 되나요? 네. \(x\)와 \(\mu\)는 어떤 실수든 가능합니다. 오직 \(s\)만 양수여야 합니다.
표준 로지스틱 분포와는 어떤 관계인가요? \(\mu = 0\), \(s = 1\)이면 표준 로지스틱 분포가 됩니다. 이때 \(x = 0\)에서 밀도는 0.25이고, 두 누적확률은 모두 0.5입니다.
