什麼是羅吉斯分布？
羅吉斯分布（Logistic distribution）是一種連續型機率分布，外形和常態分布很相似，但兩側的尾部更厚（重尾）。它由兩個參數決定：位置參數 \(\mu\)（即平均數）以及一個必須為正值的尺度參數 \(s\)。它的累積分布函數正是大家熟悉的羅吉斯 S 型曲線（sigmoid），也正因為如此，這個分布廣泛出現在統計學、機器學習（邏輯斯迴歸）以及成長模型之中。這款計算機純粹是數學運算，在任何國家、任何情境下的結果都完全一致。
使用方式
請輸入想要評估的數值 \(x\)、位置參數 \(\mu\)（即平均數，同時也是對稱中心），以及尺度參數 \(s\)（必須嚴格大於 0）。計算機會回傳三個數值：機率密度 \(f(x)\)、下尾累積機率 \(P(X \le x)\)，以及上尾累積機率 \(P(X > x)\)。其中兩個累積機率相加必定等於 1。
公式解析
首先計算標準化數值 \(z = (x - \mu) / s\)。下尾累積分布函數為 $$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$ 機率密度為 $$f(x) = \frac{e^{-z}}{s\left(1 + e^{-z}\right)^{2}}$$ 這也等於 \(F(x)(1 - F(x)) / s\)。上尾（存活）機率則為 \(S(x) = 1 - F(x)\)。為了在 \(|z|\) 很大時仍保持數值穩定，sigmoid 會依 \(z\) 為正或為負採用不同寫法，確保 \(\exp()\) 不會溢位（overflow）。
實例演算
假設 \(x = 2\)、\(\mu = 1\)、\(s = 2\)。則 $$z = \frac{2 - 1}{2} = 0.5$$ 且 \(e^{-0.5} = 0.606531\)。下尾累積機率為 $$F = \frac{1}{1 + 0.606531} = 0.622459$$ 上尾累積機率為 $$1 - 0.622459 = 0.377541$$ 機率密度為 $$f = \frac{0.622459 \times 0.377541}{2} = 0.117493$$
常見問題
尺度參數有什麼作用？\(s\) 越大，分布越分散，峰值越低；\(s\) 越小，分布越尖銳集中。在 \(x = \mu\) 處的峰值密度等於 \(1 / (4s)\)。
mu 或 x 可以是負數嗎？可以。\(x\) 與 \(\mu\) 都可以是任意實數，只有 \(s\) 必須為正值。
它和標準羅吉斯分布有什麼關係？當 \(\mu = 0\) 且 \(s = 1\) 時，就得到標準羅吉斯分布；此時在 \(x = 0\) 處的密度為 0.25，上下兩側的累積機率皆為 0.5。
