Student's t-वितरण परसेंटेज पॉइंट (इनवर्स t / क्वांटाइल) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

संचयी प्रायिकता P ऐसी प्रायिकता जो ठीक 0 और 1 के बीच हो (जैसे 0.975)।

पुच्छ का प्रकार Lower (P = area to the LEFT of t) Upper (P = area to the RIGHT of t)

स्वतंत्रता की कोटि (nu) कोई भी धनात्मक मान; आमतौर पर एक धनात्मक पूर्णांक।

परिणाम

परसेंटेज पॉइंट t

2.228139

वह क्वांटाइल जो F(t) = निचली-पुच्छ प्रायिकता को संतुष्ट करता है

उपयोग की गई निचली-पुच्छ प्रायिकता	0.975
व्याख्या	F(t) = P(T ≤ t) = 0.975

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल Student's t-वितरण का परसेंटेज पॉइंट (जिसे क्वांटाइल, क्रिटिकल वैल्यू या इनवर्स CDF भी कहते हैं) निकालता है। आप एक संचयी प्रायिकता P और स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) nu देते हैं, और यह वह मान t लौटाता है जिसके लिए t घनत्व वक्र के नीचे t तक का क्षेत्रफल चुनी गई प्रायिकता के बराबर होता है। यह t-वितरण के संचयी वितरण फलन का उलटा (inverse) है और स्प्रेडशीट के t.inv फ़ंक्शन के समान काम करता है। t-वितरण शुद्ध गणित का सार्वभौमिक नियम है और हर जगह एक जैसा ही लागू होता है।

The percentage point t is the value where the cumulative area under the t-distribution curve equals p.

इसका उपयोग कैसे करें

संचयी प्रायिकता P दर्ज करें (जो ठीक 0 और 1 के बीच हो), यह चुनें कि P एक निचली-पुच्छ (lower-tail) का क्षेत्रफल है (t के बाईं ओर) या ऊपरी-पुच्छ (upper-tail) का क्षेत्रफल (t के दाईं ओर), और फिर स्वतंत्रता की कोटि भरें। आंतरिक रूप से कैलकुलेटर हमेशा इसे निचली-पुच्छ प्रायिकता में बदलता है: निचली पुच्छ के लिए वह सीधे P का उपयोग करता है, और ऊपरी पुच्छ के लिए \(1 - P\) का। इसके बाद यह t के लिए हल निकालता है।

$$t = F^{-1}\!\left(\text{P};\ \nu\right)$$

निचली पुच्छ के लिए:

$$F(t) = \text{P} \quad\Longrightarrow\quad t = F^{-1}\!\left(\text{P}\right)$$$$\text{where}\quad F(t)=1-\tfrac{1}{2}\,I_{x}\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right),\quad x=\frac{\nu}{\nu+t^{2}},\quad \nu=\text{df}$$

ऊपरी पुच्छ के लिए:

$$F(t) = 1-\text{P} \quad\Longrightarrow\quad t = F^{-1}\!\left(1-\text{P}\right)$$$$\text{where}\quad F(t)=1-\tfrac{1}{2}\,I_{x}\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right),\quad x=\frac{\nu}{\nu+t^{2}},\quad \nu=\text{df}$$

सूत्र की व्याख्या

nu स्वतंत्रता की कोटि वाले Student's t का CDF नियमित अपूर्ण बीटा फलन I की सहायता से लिखा जाता है। जब \(t \ge 0\) हो, तो \(F(t) = 1 - 0.5 \cdot I_x(\nu/2,\, 1/2)\), जहाँ \(x = \nu / (\nu + t^{2})\); और जब \(t < 0\) हो, तो सममित रूप \(F(t) = 0.5 \cdot I_x(\nu/2,\, 1/2)\) का उपयोग होता है। अपूर्ण बीटा फलन की गणना गामा फलन के लिए Lanczos सन्निकटन और मानक सतत-भिन्न (continued-fraction) एल्गोरिथम से की जाती है। चूँकि F सख्ती से बढ़ता हुआ फलन है, इसका उलटा सुदृढ़ द्विभाजन (bisection) विधि से ज्ञात किया जाता है।

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The t-distribution has heavier tails than the normal curve, narrowing toward it as degrees of freedom grow.

हल किया हुआ उदाहरण

\(P = 0.975\), निचली पुच्छ, और \(\nu = 10\) स्वतंत्रता की कोटि के लिए कैलकुलेटर देता है \(t \approx\) 2.228139 — यही दो-तरफ़ा 95% (एक-तरफ़ा 97.5%) क्रिटिकल वैल्यू है जो t-तालिकाओं में मिलती है। यही उत्तर \(P = 0.025\) के साथ ऊपरी पुच्छ से भी आता है, क्योंकि ऊपरी 2.5% क्षेत्रफल निचले 97.5% क्षेत्रफल के बराबर होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर मैं \(P = 0\) या \(P = 1\) दर्ज करूँ तो क्या होगा? ऐसे में परसेंटेज पॉइंट अपरिभाषित होता है; यह ऋण या धन अनंत की ओर चला जाता है, इसलिए कैलकुलेटर त्रुटि (error) दिखाता है।

जब स्वतंत्रता की कोटि बहुत बड़ी हो जाए तो क्या होता है? तब t-वितरण मानक सामान्य (standard normal) वितरण के करीब पहुँच जाता है, इसलिए बहुत बड़े nu के लिए क्वांटाइल सामान्य क्वांटाइल के पास पहुँच जाता है (जैसे \(P = 0.975\) पर लगभग 1.95996)।

क्या nu पूर्णांक के अलावा भी हो सकता है? हाँ। कोई भी \(\nu > 0\) स्वीकार्य है, भिन्नात्मक (दशमलव) मान भी शामिल हैं।