F-वितरण प्रतिशत बिंदु क्या है?
F-वितरण का प्रतिशत बिंदु (जिसे इन्वर्स F, क्वांटाइल या क्रांतिक मान भी कहा जाता है) वह मान x है जिसके लिए स्वतंत्रता कोटि d1 (अंश) और d2 (हर) वाले संचयी F-वितरण का मान आपकी चुनी हुई प्रायिकता के बराबर होता है। यह F-वितरण के CDF का प्रतिलोम (इन्वर्स) है और ठीक वही क्रांतिक मान है जिसे आप ANOVA, रिग्रेशन की समग्र सार्थकता जाँच (overall significance test), और प्रसरण-अनुपात (समान-प्रसरण) परीक्षणों के लिए F-सारणियों में देखते हैं।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहले एक संचयी मोड चुनें। यदि आपकी प्रायिकता P = Pr(F ≤ x) के रूप में है तो लोअर संचयी P चुनें — उदाहरण के लिए P = 0.95 वह मान देता है जिसके नीचे वितरण का 95% भाग आता है। यदि आपके पास टेल प्रायिकता Q = Pr(F > x) है तो अपर संचयी Q चुनें — उदाहरण के लिए Q = 0.05 सामान्य ऊपरी 5% क्रांतिक मान देता है। प्रायिकता (0 और 1 के बीच, इन दोनों को छोड़कर), अंश की स्वतंत्रता कोटि d1, और हर की स्वतंत्रता कोटि d2 दर्ज करें, फिर सबमिट करें।
सूत्र की व्याख्या
F-वितरण का CDF नियमित अपूर्ण बीटा फलन \(I\) की सहायता से लिखा जाता है: \(a = d_1/2\), \(b = d_2/2\) और प्रतिस्थापन \(w = d_1 \cdot x / (d_1 \cdot x + d_2)\) के साथ, F-CDF\((x) = I_w(a, b)\) होता है। इसे प्रतिलोमित करने के लिए कैलकुलेटर \((0, 1)\) पर द्विभाजन (bisection) विधि से $$I_w(a, b) = \text{targetP}$$ को \(w\) के लिए हल करता है, जहाँ \(I_w\) का मान Lanczos log-gamma और Numerical Recipes सतत भिन्न (continued fraction) से निकाला जाता है। इसके बाद यह $$x = \frac{d_2 \cdot w}{d_1 \cdot (1 - w)}$$ से वापस \(x\) निकालता है। अपर मोड में लक्ष्य प्रायिकता \(\text{targetP} = 1 - Q\) हो जाती है।
हल किया गया उदाहरण
P = 0.95, d1 = 5, d2 = 10 के लिए हम ऊपरी 5% F क्रांतिक मान खोजते हैं। \(a = 2.5\) और \(b = 5\) के साथ, \(I_w(2.5, 5) = 0.95\) को प्रतिलोमित करने पर \(w \approx 0.6245\) मिलता है, और $$x = \frac{10 \times 0.6245}{5 \times 0.3755} \approx 3.3258$$ आता है, जो सारणीबद्ध मान \(F_{0.05}(5, 10) = 3.3258\) से मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
P और Q में क्या अंतर है? P, x तक की लोअर-टेल (संचयी) प्रायिकता है; Q, x से आगे की अपर-टेल प्रायिकता है। इनका संबंध \(P = 1 - Q\) द्वारा दिया जाता है।
प्रायिकता 0 और 1 के बीच ही (इन्हें छोड़कर) क्यों होनी चाहिए? प्रायिकता 0 का अर्थ है क्वांटाइल \(x = 0\), और प्रायिकता 1 का अर्थ है \(x \to\) अनंत; इनमें से कोई भी एक सीमित, अर्थपूर्ण क्रांतिक मान नहीं है।
क्या स्वतंत्रता कोटि गैर-पूर्णांक हो सकती है? हाँ — गणित किसी भी धनात्मक वास्तविक \(d_1\) और \(d_2\) के लिए काम करता है, हालाँकि ANOVA के अनुप्रयोगों में सामान्यतः पूर्णांक ही उपयोग होते हैं।
