ما هي النقطة المئوية لتوزيع F؟
النقطة المئوية لتوزيع F (وتُعرف أيضًا بدالة F العكسية أو الكمّيّة أو القيمة الحرجة) هي القيمة x التي يساوي عندها التوزيع التراكمي لـ F — بدرجتي الحرية d1 (البسط) وd2 (المقام) — احتمالًا محددًا تختاره. إنها معكوس دالة التوزيع التراكمي (CDF) لتوزيع F، وهي بالضبط القيمة الحرجة التي تبحث عنها في جداول F عند إجراء تحليل التباين (ANOVA)، واختبارات الدلالة الكلية في الانحدار، واختبارات نسبة التباين (تساوي التباينات).
كيفية استخدام الحاسبة
اختر أولًا نمط التراكم. حدّد الاحتمال التراكمي السفلي P إذا كان احتمالك على الصورة \(P = \Pr(F \le x)\) — فمثلًا تُعيد القيمة P = 0.95 العتبة التي تقع تحتها 95% من التوزيع. وحدّد الاحتمال التراكمي العلوي Q إذا كان لديك احتمال طرفي \(Q = \Pr(F > x)\) — فمثلًا تُعيد القيمة Q = 0.05 القيمة الحرجة العلوية المعتادة عند 5%. أدخل الاحتمال (بحيث يكون محصورًا تمامًا بين 0 و1)، ثم درجة الحرية للبسط d1، ودرجة الحرية للمقام d2، ثم اضغط للحساب.
شرح المعادلة
تُكتب دالة التوزيع التراكمي لـ F باستخدام دالة بيتا غير المكتملة المُنظَّمة I: فبوضع \(a = d_1/2\) و\(b = d_2/2\) وإجراء التعويض \(w = \frac{d_1 \cdot x}{d_1 \cdot x + d_2}\)، نحصل على \(\text{F-CDF}(x) = I_w(a, b)\). ولعكس هذه العلاقة، تحلّ الحاسبة المعادلة $$I_w(a, b) = \text{targetP}$$ لإيجاد w عبر طريقة التنصيف (bisection) على المجال (0، 1)، مع تقييم \(I_w\) بالاعتماد على دالة لوغاريتم غاما بطريقة لانكزوس (Lanczos) والكسر المتصل المأخوذ من Numerical Recipes. بعد ذلك تعوّض عكسيًا لتحصل على $$x = \frac{d_2 \cdot w}{d_1 \cdot (1 - w)}.$$ وفي النمط العلوي يصبح الاحتمال المستهدف \(\text{targetP} = 1 - Q\).
مثال محلول
لإيجاد القيمة الحرجة العلوية عند 5% بأخذ P = 0.95 وd1 = 5 وd2 = 10، نضع \(a = 2.5\) و\(b = 5\)، فيُعطينا عكس المعادلة \(I_w(2.5, 5) = 0.95\) القيمة \(w \approx 0.6245\)، ومنها $$x = \frac{10 \times 0.6245}{5 \times 0.3755} \approx 3.3258,$$ وهي تطابق القيمة المجدولة \(F_{0.05}(5, 10) = 3.3258\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين P وQ؟ P هو الاحتمال التراكمي للطرف السفلي حتى القيمة x، أما Q فهو احتمال الطرف العلوي بعد القيمة x. وترتبطان بالعلاقة \(P = 1 - Q\).
لماذا يجب أن يكون الاحتمال محصورًا تمامًا بين 0 و1؟ لأن الاحتمال 0 يقابل الكمّيّة \(x = 0\)، والاحتمال 1 يقابل \(x \to \infty\)، وأيٌّ منهما ليس قيمة حرجة منتهية أو ذات معنى.
هل يمكن أن تكون درجات الحرية غير صحيحة (كسرية)؟ نعم — تعمل الحسابات مع أي قيمتين حقيقيتين موجبتين d1 وd2، وإن كانت تطبيقات تحليل التباين تستعمل عادةً أعدادًا صحيحة.
