什麼是 F 分配的百分位點？
F 分配的百分位點（又稱 F 反函數、分位數或臨界值）是指這樣一個數值 x：當分子自由度為 d1、分母自由度為 d2 時，F 分配的累積機率恰好等於你所指定的機率。它就是 F 分配累積分配函數（CDF）的反函數，也正是你在 F 分配表中查找的臨界值——廣泛用於變異數分析（ANOVA）、迴歸整體顯著性檢定，以及變異數比（檢定兩組變異數是否相等）的檢定。
計算器使用方式
先選擇累積機率的模式。如果你手上的機率是 \(P = \Pr(F \le x)\)，請選擇 左尾累積 P——例如 \(P = 0.95\) 會回傳「整個分配有 95% 落在其下方」的那個數值。如果你掌握的是尾端機率 \(Q = \Pr(F > x)\)，則選擇 右尾累積 Q——例如 \(Q = 0.05\) 會回傳常見的上側 5% 臨界值。接著輸入機率（必須嚴格介於 0 與 1 之間）、分子自由度 \(d_1\) 與分母自由度 \(d_2\)，再送出即可。
公式說明
F 分配的累積分配函數可用正則化不完全 Beta 函數 \(I\) 來表示：令 \(a = d_1/2\)、\(b = d_2/2\)，並代入 \(w = d_1 \cdot x / (d_1 \cdot x + d_2)\)，則 \(\text{F-CDF}(x) = I_w(a, b)\)。為了求其反函數，本計算器在區間 \((0, 1)\) 上以二分法求解 $$F_p = \{\, x : I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}\!\left(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2}\right) = \text{P} \,\}$$ 中的 \(w\)，並透過 Lanczos 對數 Gamma 函數搭配《Numerical Recipes》的連分數法來計算 \(I_w\)。求得 \(w\) 後，再反代回 \(x = d_2 \cdot w / (d_1 \cdot (1 - w))\)。在右尾模式下，目標機率則為 \(\text{targetP} = 1 - Q\)。
實例演算
以 \(P = 0.95\)、\(d_1 = 5\)、\(d_2 = 10\) 為例，我們要找的是上側 5% 的 F 臨界值。代入 \(a = 2.5\)、\(b = 5\)，求解 \(I_w(2.5, 5) = 0.95\) 可得 \(w \approx 0.6245\)，再算出 $$x = \frac{10 \times 0.6245}{5 \times 0.3755} \approx 3.3258$$ 與 F 分配表中 \(F_{0.05}(5, 10) = 3.3258\) 完全吻合。
常見問題
P 與 Q 有什麼差別？\(P\) 是直到 \(x\) 為止的左尾（累積）機率；\(Q\) 則是超過 \(x\) 之後的右尾機率。兩者的關係為 \(P = 1 - Q\)。
為什麼機率必須嚴格介於 0 與 1 之間？機率為 0 對應分位數 \(x = 0\)，機率為 1 則對應 \(x\) 趨近無限大，兩者都不是有限且有意義的臨界值。
自由度可以不是整數嗎？可以——這套數學對任何正實數 \(d_1\) 與 \(d_2\) 都成立，只是在 ANOVA 應用中通常會使用整數。
