這個計算機的功能
只要需要比較兩個變異數，就會用到 F 分配，例如變異數分析（ANOVA）、迴歸模型的整體顯著性檢定，以及檢定兩組變異數是否相等的 F 檢定。本工具會以分子自由度 \(v_1\) 與分母自由度 \(v_2\)，針對一整串 \(x\) 值來計算 F 分配，讓你一次就能產生數值表與圖形。你可以從三種函數中擇一：機率密度 \(f\)、下尾累積機率 \(P\)（即累積分配函數 CDF），或上尾累積機率 \(Q\)（存活函數，適合用來算右尾 p 值）。
使用方式
先選擇你要計算的函數，接著輸入兩個自由度（兩者都必須大於 0）。然後設定數列：\(x\) 的起始值（\(x\) 必須 ≥ 0）、各點之間的間隔（增量），以及迭代次數。計算機會依 \(x_i = \text{initialX} + i \times \text{stepX}\)（\(i\) 從 0 到 \(\text{loopCount}-1\)）產生各點，並在每個點回報你所選的函數值。預設值（\(v_1 = 3\)、\(v_2 = 5\)、起始 0、間隔 0.1、51 個點）會讓 \(x\) 從 0 掃描到 5。
公式解析
機率密度用到 Beta 函數 \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\)。為了在自由度很大時仍保持數值穩定，我們改以對數方式運算，搭配 log-gamma 函數。 $$f(x) = \frac{\sqrt{\dfrac{(\nu_1 x)^{\nu_1}\,\nu_2^{\nu_2}}{(\nu_1 x + \nu_2)^{\nu_1+\nu_2}}}}{x\,B\!\left(\tfrac{\nu_1}{2},\tfrac{\nu_2}{2}\right)}$$ 累積機率則有簡潔的封閉解：\(P(x)\) 等於正則化不完全 Beta 函數 \(I_z(\nu_1/2, \nu_2/2)\)，其中 \(z = \frac{\nu_1 x}{\nu_1 x + \nu_2}\)。 $$F(x) = I_{\,z}\!\left(\tfrac{\nu_1}{2},\,\tfrac{\nu_2}{2}\right),\quad z = \frac{\nu_1 x}{\nu_1 x + \nu_2}$$ 上尾機率就只是 \(Q(x) = 1 - P(x)\)。不完全 Beta 函數則以標準的連分數法求值。
實例演算
取 \(v_1 = 3\)、\(v_2 = 5\)，在 \(x = 1\) 時：常數 $$C = \frac{3^{1.5} \times 5^{2.5}}{B(1.5, 2.5)} = \frac{5.196152 \times 55.901699}{0.196350} = 1479.36$$ 於是 $$f = \frac{1479.36 \times 1^{0.5}}{(5 + 3)^4} = \frac{1479.36}{4096} = 0.36117$$ 至於 CDF，\(z = \frac{3}{8} = 0.375\)，得到 \(P = I_{0.375}(1.5, 2.5) = 0.5351\)，因此 \(Q = 0.4649\)。
常見問題
為什麼機率密度在 \(x = 0\) 處會發散？當 \(\nu_1 < 2\) 時，密度在 \(x = 0\) 處會趨於無限大；當 \(\nu_1 = 2\) 時其值等於 1；而當 \(\nu_1 > 2\) 時則為 0。
\(x\) 的合理範圍是多少？F 變數為非負數，所以從 \(x = 0\) 開始，並往右尾延伸到足夠遠（通常 \(x\) 取到 5 至 10）以涵蓋分配的主要部分。
平均數一定存在嗎？平均數 \(\frac{\nu_2}{\nu_2-2}\) 只在 \(\nu_2 > 2\) 時存在，而變異數則須 \(\nu_2 > 4\) 才存在；不過要計算本工具中的這些函數，並不需要這兩個條件成立。
