Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
F-dağılımı, iki varyansı karşılaştırdığınız her durumda karşımıza çıkar; örneğin ANOVA, regresyonun genel anlamlılık testleri ve varyans eşitliği için yapılan F-testi gibi. Bu araç, pay serbestlik derecesi \(\nu_1\) ve payda serbestlik derecesi \(\nu_2\) ile F-dağılımını bütün bir x değerleri dizisi boyunca değerlendirir; böylece tek adımda hem bir tablo hem de bir grafik oluşturabilirsiniz. Üç fonksiyondan birini seçin: olasılık yoğunluğu \(f\), alt kümülatif olasılık \(P\) (yani CDF) veya üst kümülatif olasılık \(Q\) (sağ kuyruk p-değerleri için kullanışlı olan hayatta kalma fonksiyonu).
Nasıl kullanılır?
İstediğiniz fonksiyonu seçin. İki serbestlik derecesini girin (her ikisi de 0'dan büyük olmalıdır). Ardından diziyi ayarlayın: x'in başlangıç değeri (\(x \geq 0\) olmalı), noktalar arasındaki artış miktarı ve yineleme sayısı. Hesaplayıcı, \(i = 0\)'dan \(\text{loopCount}-1\)'e kadar \(x_i = \text{initialX} + i \cdot \text{stepX}\) değerlerini üretir ve her noktada seçtiğiniz fonksiyonu raporlar. Varsayılan ayarlar (\(\nu_1 = 3\), \(\nu_2 = 5\), başlangıç 0, adım 0,1, 51 nokta) x'i 0'dan 5'e kadar tarar.
Formülün açıklaması
Yoğunluk, \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\) Beta fonksiyonunu kullanır. $$f(x) = \frac{\sqrt{\dfrac{(\nu_1 x)^{\nu_1}\,\nu_2^{\nu_2}}{(\nu_1 x + \nu_2)^{\nu_1+\nu_2}}}}{x\,B\!\left(\tfrac{\nu_1}{2},\tfrac{\nu_2}{2}\right)}$$ Büyük serbestlik derecelerinde sayısal kararlılığı korumak için logaritma ortamında, log-gama fonksiyonuyla çalışırız. Kümülatif olasılığın temiz bir kapalı formu vardır: \(z = \nu_1 x/(\nu_1 x + \nu_2)\) olmak üzere \(P(x)\), düzenlenmiş tamamlanmamış beta \(I_z(\nu_1/2, \nu_2/2)\) değerine eşittir. $$F(x) = I_{\,z}\!\left(\tfrac{\nu_1}{2},\,\tfrac{\nu_2}{2}\right),\quad z = \frac{\nu_1 x}{\nu_1 x + \nu_2}$$ Üst kuyruk ise basitçe \(Q(x) = 1 - P(x)\) ile bulunur. Tamamlanmamış betayı standart sürekli kesir yöntemiyle değerlendiririz.
Çözümlü örnek
\(\nu_1 = 3\) ve \(\nu_2 = 5\) ile \(x = 1\) noktasında: sabit $$C = \frac{3^{1{,}5} \cdot 5^{2{,}5}}{B(1{,}5;\, 2{,}5)} = \frac{5{,}196152 \cdot 55{,}901699}{0{,}196350} = 1479{,}36.$$ Buradan $$f = \frac{1479{,}36 \cdot 1^{0{,}5}}{(5 + 3)^4} = \frac{1479{,}36}{4096} = 0{,}36117.$$ CDF için \(z = 3/8 = 0{,}375\) olur ve \(P = I_{0{,}375}(1{,}5;\, 2{,}5) = 0{,}5351\), dolayısıyla \(Q = 0{,}4649\) bulunur.
Sıkça sorulan sorular
Yoğunluk neden x = 0 noktasında patlıyor? \(\nu_1 < 2\) olduğunda yoğunluk \(x = 0\)'da sınırsızdır; \(\nu_1 = 2\) olduğunda 1'e eşittir, \(\nu_1 > 2\) için ise 0 olur.
Hangi x aralığı mantıklıdır? F değişkeni negatif olamaz; bu yüzden \(x = 0\)'dan başlayın ve dağılımın büyük kısmını yakalayacak kadar sağ kuyruğa doğru ilerleyin (çoğu zaman x'i 5-10'a kadar uzatmak yeterlidir).
Ortalama her zaman var mıdır? \(\nu_2/(\nu_2-2)\) ortalaması yalnızca \(\nu_2 > 2\) için, varyans ise yalnızca \(\nu_2 > 4\) için tanımlıdır; ancak buradaki fonksiyonları değerlendirmek için ikisi de zorunlu değildir.
