Bu hesaplama aracı ne işe yarar?
Normal Dağılım Hesaplama Aracı, normal dağılım gösteren bir değişkeni; verilen bir ortalama (mü) ve standart sapma (sigma) için seçtiğiniz herhangi bir x noktasında değerlendirir. Üç temel sonucu verir: olasılık yoğunluğu \(f(x)\), alt kümülatif olasılık \(P(X \le x)\) ve üst kümülatif olasılık \(P(X > x)\). Bu araç, ülkeye özgü hiçbir varsayım içermeyen, evrensel bir matematik ve istatistik aracıdır. Varsayılan değerler olan \(\mu = 0\) ve \(\sigma = 1\) ile standart normal dağılım üzerinde çalışır.
Nasıl kullanılır?
Dağılımı değerlendirmek istediğiniz x değerini, ortalama mü değerini ve (0'dan büyük olması gereken) standart sapma sigma değerini girin. Hesaplama aracı önce değeri \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\) formülüyle standartlaştırır, ardından yoğunluğu ve her iki kümülatif kuyruğu hesaplar. Alt kümülatif olasılık, eğri altında x'in solunda kalan alandır; üst kümülatif olasılık ise sağında kalan alandır ve bu ikisinin toplamı her zaman 1'e eşittir.
Formülün açıklaması
Olasılık yoğunluğu
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$ile bulunur. Alt kümülatif olasılık ise kümülatif dağılım fonksiyonu
$$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ile hesaplanır; burada \(\operatorname{erf}\), Gauss hata fonksiyonudur. Standart matematik kütüphanesinde hazır bir \(\operatorname{erf}\) fonksiyonu bulunmadığından, bu araç yaklaşık \(1\times 10^{-7}\) doğrulukla çalışan Abramowitz & Stegun 7.1.26 rasyonel yaklaşımını kullanır. Üst kümülatif olasılık ise basitçe \(1 - \Phi(z)\)'dir.
Örnek hesaplama
IQ tarzı bir dağılımı ele alalım: \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\) ve \(x = 130\) noktasında değerlendirelim. Önce
$$z = \frac{130 - 100}{15} = 2$$olur. Yoğunluk
$$f(130) = \frac{0{,}3989422804}{15} \cdot e^{-2} = 0{,}003599750$$olarak bulunur. Alt kümülatif olasılık \(\Phi(2) = 0{,}9772498681\) olduğundan, üst kümülatif olasılık \(0{,}0227501319\) çıkar; yani değerlerin yaklaşık %2,28'i 130'u aşar.
Sıkça sorulan sorular
z nedir? \(z\), standartlaştırılmış puandır; yani x'in ortalamanın kaç standart sapma üzerinde (pozitif) veya altında (negatif) olduğunu gösterir.
sigma neden pozitif olmalı? Sıfır veya negatif bir standart sapma dağılımı tanımsız hâle getirir ve sıfıra bölme hatasına yol açar; bu nedenle \(\sigma\) 0'dan büyük olmalıdır.
f(x) ve olasılıkların toplamı 1 eder mi? \(P(X \le x)\) ve \(P(X > x)\) şeklindeki iki kümülatif olasılığın toplamı 1'e eşittir. Yoğunluk \(f(x)\) ise bir olasılık değildir ve bu toplama dâhil edilmez; o yalnızca eğrinin x noktasındaki yüksekliğidir.
