Что считает этот калькулятор
Калькулятор нормального распределения вычисляет значения нормально распределённой величины в заданной точке x при известных среднем (mu) и стандартном отклонении (sigma). Он выдаёт три ключевые величины: плотность вероятности f(x), левую кумулятивную вероятность P(X ≤ x) и правую кумулятивную вероятность P(X > x). Это универсальный математический и статистический инструмент без каких-либо привязок к конкретной стране. При значениях по умолчанию mu = 0 и sigma = 1 он работает со стандартным нормальным распределением.
Как пользоваться
Введите значение x, в котором нужно оценить распределение, среднее mu и стандартное отклонение sigma (оно обязательно должно быть больше 0). Сначала калькулятор стандартизирует значение по формуле \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\), а затем вычисляет плотность и оба «хвоста» распределения. Левая кумулятивная вероятность — это площадь под кривой слева от x, правая — площадь справа; в сумме они всегда дают 1.
Разбор формулы
Плотность вероятности задаётся формулой $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$ Левая кумулятивная вероятность — это функция распределения $$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ где \(\operatorname{erf}\) — функция ошибок Гаусса. Поскольку в стандартной математической библиотеке нет встроенной функции \(\operatorname{erf}\), здесь используется рациональное приближение Абрамовица и Стиган (формула 7.1.26) с точностью около \(10^{-7}\). Правая кумулятивная вероятность вычисляется просто: \(1 - \Phi(z)\).
Пример расчёта
Возьмём распределение IQ с mu = 100, sigma = 15 и оценим его в точке x = 130. Сначала находим $$z = \frac{130 - 100}{15} = 2$$ Плотность равна $$f(130) = \frac{0.3989422804}{15} \cdot e^{-2} = 0.003599750$$ Левая кумулятивная вероятность \(\Phi(2) = 0.9772498681\), поэтому правая кумулятивная вероятность составляет \(0.0227501319\) — то есть примерно 2,28% значений превышают 130.
Частые вопросы
Что такое z? z — это стандартизированное значение, то есть число стандартных отклонений, на которое x отстоит выше (положительное z) или ниже (отрицательное z) среднего.
Почему sigma должна быть положительной? При нулевом или отрицательном стандартном отклонении распределение не определено, а в формуле возникает деление на ноль. Поэтому sigma обязательно должна быть больше 0.
Дают ли f(x) и вероятности в сумме 1? В сумму, равную 1, складываются две кумулятивные вероятности — P(X ≤ x) и P(X > x). Плотность f(x) не является вероятностью и в эту сумму не входит: это высота кривой в точке x.
