Калькулятор стандартного нормального распределения

Введите расчет

Точка x (z-значение)

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Cumulative Probability (CDF)

   

   Lower cumulative probability P(Z <= x); upper = 1 - this value

Результатов

Плотность вероятности в точке x

0,241971

стандартное нормальное N(0,1)

Величина	Значение
Lower cumulative P(X ≤ x)	0,8413447
Upper cumulative P(X ≥ x)	0,1586553
Inner cumulative P(−|x| ≤ X ≤ |x|)	0,6826895

Что считает этот калькулятор

Стандартное нормальное распределение N(0,1) — это та самая колоколообразная кривая со средним 0 и стандартным отклонением 1. По заданному значению x (его также называют z-значением, или z-оценкой) калькулятор выдаёт сразу четыре числа: плотность вероятности в точке x, левую кумулятивную вероятность P(X ≤ x), правую кумулятивную вероятность P(X ≥ x) и внутреннюю двустороннюю вероятность P(−|x| ≤ X ≤ |x|). Калькулятор работает с любым действительным x — положительным, отрицательным или нулём.

Кривая стандартного нормального распределения N(0,1): высота плотности φ(x) и площадь, дающая функцию распределения Φ(x).

Как пользоваться

Введите значение x и сразу получите результаты. Например, x = 1 соответствует одному стандартному отклонению выше среднего, а x = 1,96 — это классическая граница для 95-процентного доверительного интервала. Единицы измерения указывать не нужно: стандартная нормальная величина безразмерна.

Разбор формул

Плотность вычисляется по формуле $$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^{2}/2}$$ где \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989423\). Левая функция распределения — $$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[\,1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ где используется функция ошибок Гаусса erf. Правый хвост равен \(Q(x) = 1 - \Phi(x)\), а внутренняя вероятность — \(I(x) = \operatorname{erf}(|x|/\sqrt{2}) = 2\Phi(|x|) - 1\). Поскольку базовые математические библиотеки не содержат erf, мы вычисляем её через рациональную аппроксимацию Абрамовица и Стиган (формула 7.1.26, максимальная погрешность около \(1{,}5 \times 10^{-7}\)) — её точности хватает примерно на шесть знаков после запятой при выводе результата.

Реклама

Нижняя (Φ), верхняя (1−Φ) и двусторонняя области вероятности стандартного нормального распределения.

Пример расчёта

Возьмём x = 1: $$\varphi(1) = 0{,}3989423 \times e^{-0{,}5} \approx 0{,}2419707$$ Далее \(\operatorname{erf}(0{,}7071068) \approx 0{,}6826895\), откуда \(\Phi(1) \approx 0{,}8413447\). Получаем правый хвост 0,1586553 и внутреннюю вероятность 0,6826895 — то самое известное правило «68% значений лежат в пределах ±1 стандартного отклонения».

Частые вопросы

Что такое z-значение? Это число стандартных отклонений, на которое значение отстоит от среднего. Для стандартного нормального распределения само значение и его z-оценка совпадают.

Почему во внутренней вероятности используется |x|? Двусторонняя область симметрична относительно нуля, поэтому отрицательное x даёт ту же внутреннюю вероятность, что и его положительный аналог.

Насколько точны результаты? Аппроксимация функции ошибок верна примерно до шести знаков после запятой — этого с запасом хватает для большинства статистических задач.