Что такое dn(u, k)?
Эллиптическая функция Якоби dn(u, k), которую называют «дельта-амплитудой», — одна из трёх основных эллиптических функций Якоби наряду с sn и cn. Они обобщают привычные тригонометрические функции и встречаются повсюду в физике и инженерии: точный период колебаний маятника, солитонные решения нелинейных волновых уравнений, движение твёрдого тела (уравнения Эйлера) и расчёт эллиптических фильтров. Этот калькулятор вычисляет dn для любого вещественного аргумента u и модуля k в диапазоне от −1 до 1.
Как пользоваться
Введите аргумент u (любое вещественное число) и модуль k при условии \(-1 \le \text{k} \le 1\). Поскольку dn зависит только от \(\text{k}^{2}\), знак k на результат не влияет. Нажмите «Рассчитать», чтобы получить \(\operatorname{dn}(\text{u},\, \text{k})\). Внутри калькулятор задаёт параметр \(m = \text{k}^{2}\).
Разбор формулы
Пусть \(\phi = \operatorname{am}(\text{u}, m)\) — амплитуда, которая задаётся неявно через неполный эллиптический интеграл первого рода \(F(\phi \mid m) = \text{u}\). Тогда \(\operatorname{sn} = \sin(\phi)\), \(\operatorname{cn} = \cos(\phi)\), а $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - \text{k}^{2}\sin^{2}\phi}.$$ Амплитуду \(\operatorname{am}(\text{u}, m)\) мы вычисляем численно с помощью нисходящего преобразования Ландена / среднего арифметико-геометрического (классическая процедура «sncndn» из Numerical Recipes). Метод сходится квадратично и сохраняет точность во всей области определения.
Пример расчёта
Возьмём \(\text{u} = 4\) и \(\text{k} = 0{,}7\), тогда \(m = 0{,}49\). Амплитуда \(\operatorname{am}(4,\, 0{,}49) \approx 3{,}4179\) рад, откуда \(\operatorname{sn}(4,\, 0{,}7) \approx -0{,}27156\). Далее $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}49 \times (-0{,}27156)^{2}} = \sqrt{1 - 0{,}036131} = \sqrt{0{,}963869} \approx \mathbf{0{,}981768}.$$
Частые вопросы
Что происходит при k = 0? \(\operatorname{dn}(\text{u}, 0) = 1\) для любого u, ведь слагаемое с модулем обращается в нуль, а \(\operatorname{am}(\text{u}, 0) = \text{u}\).
А при k = 1? \(\operatorname{dn}(\text{u}, 1) = \operatorname{sech}(\text{u}) = \dfrac{1}{\cosh(\text{u})}\); например, \(\operatorname{dn}(4, 1) \approx 0{,}036644\).
Какова область значений dn? При \(|\text{k}| < 1\) функция dn всегда положительна и колеблется между минимумом \(\text{k}' = \sqrt{1 - \text{k}^{2}}\) и значением 1 при \(\text{u} = 0\) (по модулю 2K), где K — полный эллиптический интеграл первого рода.
