Qu'est-ce que dn(u, k) ?
La fonction elliptique de Jacobi dn(u, k), appelée « amplitude delta », est l'une des trois fonctions elliptiques de Jacobi fondamentales, aux côtés de sn et cn. Ces fonctions généralisent les fonctions trigonométriques classiques et se rencontrent partout en physique et en ingénierie : la période exacte d'un pendule, les solutions solitons des équations d'ondes non linéaires, le mouvement d'un solide rigide (équations d'Euler) ou encore la conception de filtres elliptiques. Ce calculateur évalue dn pour tout argument réel u et tout module k compris entre -1 et 1.
Comment l'utiliser
Saisissez l'argument u (un réel quelconque) et le module k tel que \(-1 \le k \le 1\). Comme dn ne dépend que de \(k^2\), le signe de k n'influe pas sur le résultat. Cliquez sur « Calculer » pour obtenir dn(u, k). En interne, le calculateur pose le paramètre \(m = k^2\).
La formule expliquée
Soit φ = am(u, m) l'amplitude, définie implicitement par l'intégrale elliptique incomplète de première espèce \(F(\phi \mid m) = u\). On a alors \(\operatorname{sn} = \sin(\phi)\), \(\operatorname{cn} = \cos(\phi)\) et $$\operatorname{dn}(\text{u},\, \text{k}) = \sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\operatorname{sn}^{2}(\text{u},\, \text{k})}.$$ Nous calculons am(u, m) numériquement à l'aide de la transformation de Landen descendante (ou moyenne arithmético-géométrique), la fameuse routine « sncndn » des Numerical Recipes, qui converge de façon quadratique et reste précise sur tout le domaine.
Exemple détaillé
Prenons u = 4 et k = 0,7, d'où m = 0,49. L'amplitude am(4, 0,49) ≈ 3,4179 rad, ce qui donne sn(4, 0,7) ≈ -0,27156. On obtient alors $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}49 \times (-0{,}27156)^{2}} = \sqrt{1 - 0{,}036131} = \sqrt{0{,}963869} \approx \mathbf{0{,}981768}.$$
FAQ
Que se passe-t-il quand k = 0 ? \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) pour tout u, car le terme du module s'annule et \(\operatorname{am}(u, 0) = u\).
Et pour k = 1 ? $$\operatorname{dn}(\text{u},\, \text{k}) = \operatorname{sech}\left(\text{u}\right) = \frac{1}{\cosh\left(\text{u}\right)}$$ ; par exemple dn(4, 1) ≈ 0,036644.
Quel est l'intervalle de valeurs de dn ? Pour \(|k| < 1\), dn est toujours positive et oscille entre \(k' = \sqrt{1 - k^2}\) à son minimum et 1 en u = 0 (modulo 2K), où K est l'intégrale elliptique complète de première espèce.
