¿Qué es dn(u, k)?
La función elíptica de Jacobi dn(u, k), conocida como «amplitud delta», es una de las tres funciones elípticas de Jacobi principales, junto con sn y cn. Estas funciones generalizan a las funciones trigonométricas habituales y aparecen por todas partes en la física y la ingeniería: el periodo exacto de un péndulo, las soluciones de tipo solitón de las ecuaciones de onda no lineales, el movimiento de un sólido rígido (ecuaciones de Euler) o el diseño de filtros elípticos. Esta calculadora evalúa dn para cualquier argumento real u y módulo k comprendido entre -1 y 1.
Cómo utilizarla
Introduce el argumento u (cualquier número real) y el módulo k con \(-1 \le k \le 1\). Como dn solo depende de \(k^2\), el signo de k no altera el resultado. Pulsa calcular para obtener dn(u, k). Internamente, la calculadora fija el parámetro \(m = k^2\).
La fórmula explicada
Sea \(\varphi = \operatorname{am}(u, m)\) la amplitud, definida de forma implícita mediante la integral elíptica incompleta de primera especie \(F(\varphi \mid m) = u\). Entonces \(\operatorname{sn} = \sin(\varphi)\), \(\operatorname{cn} = \cos(\varphi)\) y $$\operatorname{dn}(u,\, k) = \sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\varphi}.$$ Calculamos \(\operatorname{am}(u, m)\) numéricamente con la transformación descendente de Landen / de la media aritmético-geométrica (la clásica rutina «sncndn» de Numerical Recipes), que converge de forma cuadrática y resulta precisa en todo el dominio.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(u = 4\) y \(k = 0{,}7\), de modo que \(m = 0{,}49\). La amplitud \(\operatorname{am}(4,\, 0{,}49) \approx 3{,}4179\) rad, lo que da \(\operatorname{sn}(4,\, 0{,}7) \approx -0{,}27156\). Entonces $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}49 \times (-0{,}27156)^{2}} = \sqrt{1 - 0{,}036131} = \sqrt{0{,}963869} \approx \mathbf{0{,}981768}.$$
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre cuando k = 0? \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) para todo u, porque el término del módulo se anula y \(\operatorname{am}(u, 0) = u\).
¿Y con k = 1? \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = \frac{1}{\cosh(u)}\); por ejemplo, \(\operatorname{dn}(4, 1) \approx 0{,}036644\).
¿Cuál es el rango de dn? Para \(|k| < 1\), dn siempre es positiva y oscila entre \(k' = \sqrt{1 - k^{2}}\) en su mínimo y 1 en \(u = 0 \pmod{2K}\), donde K es la integral elíptica completa de primera especie.
