¿Qué es la división sintética?
La división sintética —conocida en muchos países hispanohablantes como la regla de Ruffini— es un atajo rápido para dividir un polinomio \(P(x)\) entre un factor lineal de la forma \((x - r)\). En lugar de hacer toda la división larga, trabajas únicamente con los coeficientes numéricos y obtienes un polinomio cociente de un grado menor más un único resto. Por el teorema del resto, ese resto coincide con \(P(r)\), de modo que el mismo procedimiento también sirve para evaluar el polinomio en \(x = r\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce los coeficientes de tu polinomio ordenados del grado más alto hasta el término independiente, separados por comas o espacios. No olvides poner ceros en las potencias que falten (por ejemplo, \(x^3 - 2\) se escribe como 1, 0, 0, -2). Después indica la raíz \(r\) del divisor \((x - r)\). Si vas a dividir entre \((x + 3)\), usa \(r = -3\). La calculadora te devolverá el polinomio cociente y el resto.
La fórmula paso a paso
Escribe los coeficientes \(a_0, a_1, \dots, a_n\). Baja \(a_0\) tal cual como \(b_0\). Cada término siguiente se obtiene con la fórmula recurrente \(b_i = a_i + r\cdot b_{i-1}\). Los valores de \(b_0\) a \(b_{n-1}\) son los coeficientes del cociente, y el último valor \(b_n\) es el resto \(R\). En forma simbólica:
$$P(x) = (x - r)\cdot Q(x) + R$$De forma general:
$$\begin{gathered} b_0 = a_0, \qquad b_i = a_i + \text{r}\cdot b_{i-1} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a_i &= \text{Coefficients}\ \text{(highest degree first)} \\ Q(x) &= b_0 x^{n-1} + b_1 x^{n-2} + \dots + b_{n-2} \\ R &= b_{n-1}\ \text{(remainder)} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ejemplo resuelto
Vamos a dividir \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) entre \((x - 1)\), por lo que los coeficientes son \(1, -6, 11, -6\) y \(r = 1\). Bajamos el \(1\). A continuación: $$-6 + 1\cdot 1 = -5$$ Luego $$11 + 1\cdot(-5) = 6$$ Y por último $$-6 + 1\cdot 6 = 0$$ El cociente es \(x^2 - 5x + 6\) con resto \(0\), lo que confirma que \((x - 1)\) es un factor del polinomio.
Preguntas frecuentes
¿Puedo dividir entre \((x + a)\)? Sí: basta con reescribirlo como \((x - (-a))\) e introducir \(r = -a\).
¿Qué significa que el resto sea cero? Significa que \((x - r)\) divide a \(P(x)\) de forma exacta, así que \(r\) es una raíz del polinomio.
¿Por qué hay que incluir ceros en los términos que faltan? Porque la división sintética se basa en la posición de cada coeficiente; saltarse una potencia desplazaría todos los valores y daría un resultado incorrecto.
