Qu'est-ce que la division synthétique ?
La division synthétique (aussi appelée schéma de Horner) est une méthode rapide pour diviser un polynôme \(P(x)\) par un facteur linéaire de la forme \((x - r)\). Plutôt que de poser une division euclidienne complète, on ne manipule que les coefficients numériques : on obtient un polynôme quotient d'un degré inférieur, accompagné d'un reste unique. D'après le théorème du reste, ce reste est égal à \(P(r)\) — autrement dit, la même procédure permet aussi d'évaluer le polynôme en \(x = r\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les coefficients de votre polynôme, du degré le plus élevé jusqu'au terme constant, séparés par des virgules ou des espaces. Pensez à inscrire un zéro pour chaque puissance manquante (par exemple, \(x^3 - 2\) s'écrit 1, 0, 0, -2). Indiquez ensuite la racine \(r\) du diviseur \((x - r)\). Si vous divisez par \((x + 3)\), entrez \(r = -3\). Le calculateur affiche alors le polynôme quotient et le reste.
La formule expliquée
Notez les coefficients \(a_0, a_1, \dots, a_n\). Abaissez \(a_0\) pour obtenir \(b_0\). Chaque terme suivant se calcule par la relation de récurrence \(b_i = a_i + r\cdot b_{i-1}\). Les valeurs \(b_0\) à \(b_{n-1}\) correspondent aux coefficients du quotient, et la dernière valeur \(b_n\) est le reste \(R\). De façon symbolique :
$$P(x) = (x - r)\cdot Q(x) + R$$Plus précisément :
$$\begin{gathered} b_0 = a_0, \qquad b_i = a_i + \text{r}\cdot b_{i-1} \\[1.5em] \text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} a_i &= \text{Coefficients}\ \text{(degré le plus élevé d'abord)} \\ Q(x) &= b_0 x^{n-1} + b_1 x^{n-2} + \dots + b_{n-2} \\ R &= b_{n-1}\ \text{(reste)} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple détaillé
Divisons \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) par \((x - 1)\) : les coefficients sont donc \(1, -6, 11, -6\) et \(r = 1\). On abaisse \(1\). Ensuite : \(-6 + 1\cdot 1 = -5\). Puis \(11 + 1\cdot(-5) = 6\). Et enfin \(-6 + 1\cdot 6 = 0\). Le quotient est \(x^2 - 5x + 6\) avec un reste de \(0\), ce qui confirme que \((x - 1)\) est bien un facteur.
Questions fréquentes
Puis-je diviser par \((x + a)\) ? Oui — réécrivez-le sous la forme \((x - (-a))\) et entrez \(r = -a\).
Que signifie un reste nul ? Cela indique que \((x - r)\) divise exactement \(P(x)\) : \(r\) est donc une racine du polynôme.
Pourquoi faut-il mettre des zéros pour les termes manquants ? La division synthétique repose sur la position des coefficients ; omettre une puissance décalerait l'ensemble et fausserait le résultat.
