什么是综合除法？
综合除法（Synthetic Division）是一种快速技巧，专门用来把多项式 \(P(x)\) 除以形如 \((x - r)\) 的一次因式。相比繁琐的长除法，它只需对系数做运算，就能算出一个次数低一阶的商式，再加上一个余数。根据余数定理，这个余数恰好等于 \(P(r)\)，所以同样的步骤也能用来求多项式在 \(x = r\) 处的函数值。
如何使用本计算器
请按照从最高次项到常数项的顺序，输入多项式的各项系数，用逗号或空格分隔。缺项的幂次要补上 0（例如 \(x^3 - 2\) 应写成 1, 0, 0, -2）。接着输入除式 \((x - r)\) 中的根 \(r\)。如果你要除以 \((x + 3)\)，那么 \(r = -3\)。计算器会返回商式多项式和余数。
公式详解
先列出系数 \(a_0\)、\(a_1\)、…、\(a_n\)。把 \(a_0\) 直接落下作为 \(b_0\)。之后的每一项都遵循递推公式 \(b_i = a_i + r\cdot b_{i-1}\)。其中 \(b_0\) 到 \(b_{n-1}\) 是商式的系数，最后一个值 \(b_n\) 就是余数 \(R\)。用符号表示即为
$$P(x) = (x - r)\cdot Q(x) + R$$具体的递推关系为
$$\begin{gathered} b_0 = a_0, \qquad b_i = a_i + \text{r}\cdot b_{i-1} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a_i &= \text{Coefficients}\ \text{(highest degree first)} \\ Q(x) &= b_0 x^{n-1} + b_1 x^{n-2} + \dots + b_{n-2} \\ R &= b_{n-1}\ \text{(remainder)} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
实例演示
用 \((x - 1)\) 去除 \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\)，因此系数为 1、−6、11、−6，\(r = 1\)。先把 1 落下。接着：\(-6 + 1\cdot 1 = -5\)；然后 \(11 + 1\cdot(-5) = 6\)；再算 \(-6 + 1\cdot 6 = 0\)。于是商式为 \(x^2 - 5x + 6\)，余数为 0，这说明 \((x - 1)\) 是该多项式的一个因式。
常见问题
可以除以 \((x + a)\) 吗？ 可以——把它改写成 \((x - (-a))\)，然后输入 \(r = -a\) 即可。
余数为 0 意味着什么？ 这表示 \((x - r)\) 能整除 \(P(x)\)，也就是说 \(r\) 是该多项式的一个根。
为什么缺项必须补 0？ 综合除法依赖系数的位置对齐，一旦漏掉某个幂次，后面所有数字都会错位，导致结果出错。
