什么是氢原子径向波函数计算器？
本工具用于计算类氢（单电子）原子的归一化径向波函数 R(r)，即电子波函数中只与电子到原子核距离 r 有关的部分。同时它还会给出 r·R(r)，因为径向概率密度正比于 (r·R(r))²。这部分内容属于纯粹的量子力学，普遍适用、不受国家或地区限制。所有距离均以玻尔半径为单位（\(a = a_0 = 1\)）。
如何使用
先选择原子序数 Z（氢原子 Z=1，或氦离子 He⁺ Z=2），输入主量子数 n（1、2、3……）和角量子数 l（取值范围 0 到 n−1）。然后设置起始半径、步长以及取点个数，即可生成一张可用于绘图的数据表。
计算公式
引入无量纲变量 \(\rho = \frac{2Zr}{na}\)，并取 \(a = 1\)，则归一化径向波函数为
$$R_{n,l}(r) = N\,e^{-\rho/2}\,\rho^{\,l}\,L_{n-l-1}^{\,2l+1}(\rho)$$其中归一化常数
$$N = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^{3}\frac{(n-l-1)!}{2n\,((n+l)!)}}$$式中的连带拉盖尔多项式定义为
$$L_p^q(x) = \sum_i (-1)^i \binom{p+q}{p-i} \frac{x^i}{i!}$$
计算示例
以 Z=1、n=2、l=0（即 2s 轨道）为例：
$$R_{2,0}(r) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2 - r)\,e^{-r/2}$$当 r=0 时，\(R = \frac{1}{2.828427}\cdot 2 = 0.707107\)；当 r=2 时出现径向节点，此处 \(R=0\)。这与计算器的输出结果一致。
常见问题
为什么结果有时会带一个负号？波函数整体的正负号只是一种相位约定，并不具有物理意义；而 \((r\cdot R)^2\) 与符号无关。
为什么当 l≥1 时 R(0)=0？因为当 \(l\geq 1\) 时，在 r=0 处 \(\rho^l = 0\)。
R(r) 的单位是什么？是 \(a_0^{-3/2}\)，因为波函数是在以玻尔半径度量的三维空间中归一化的。
