这个计算器能做什么
本工具可针对你指定的量子数 \(n\)，在一段位置区间 \(x\) 上计算并绘制一维量子谐振子（QHO）波函数 \(\psi_n(x)\)。量子谐振子是量子力学中最重要的可精确求解模型之一，广泛用于描述分子振动、固体中的声子以及电磁场的各个模式。这些波函数正是哈密顿量的本征态，其能量为 \(E_n = \hbar\omega\cdot(n + \tfrac{1}{2})\)。
单位约定
为了让结果保持纯数值形式，位置以无量纲的振子长度单位来度量，等价于令参数 \(\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar} = 1\)。采用这一约定后，就无需提供质量、角频率或 \(\hbar\) 的具体数值：你只要输入 \(n\) 以及 \(x\) 的采样参数即可。能量则以 \(\hbar\omega\) 为单位输出，因此 \(E_n\) 就简单地等于 \(n + \tfrac{1}{2}\)。
计算公式
归一化的本征函数为
$$\psi_n(x) = N_n \cdot H_n(x) \cdot \exp(-x^2/2)$$其中归一化常数
$$N_n = \sqrt{\frac{1}{2^{n}\cdot n!\cdot\sqrt{\pi}}}$$\(H_n\) 为物理学家约定下的厄米多项式。厄米多项式可由稳定的递推关系生成：\(H_0 = 1\)，\(H_1 = 2x\)，\(H_{k+1} = 2x\cdot H_k - 2k\cdot H_{k-1}\)。归一化常数在对数域中计算，以避免在 \(n\) 较大时发生数值溢出。
如何使用
依次输入量子数 \(n\)（0、1、2、……）、起始位置 \(x\)、步长以及采样点数。计算器对每个 \(i\) 求值 \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\)，返回每一点处的 \(\psi\) 值，并绘制 \(\psi(x)\) 随 \(x\) 变化的图像。默认设置（起点 \(-4\)，步长 \(0.1\)，\(81\) 个点）会让 \(x\) 从 \(-4\) 扫描到 \(+4\)。
实例演算
取 \(n = 1\)、\(x = 1.0\)：\(N_1 = \sqrt{1/(2\cdot\sqrt{\pi})} = 0.5311259\)，\(H_1(1) = 2.0\)，\(\exp(-0.5) = 0.6065307\)。因此
$$\psi_1(1.0) = 0.5311259 \times 2.0 \times 0.6065307 = 0.6442715$$\(n = 1\) 态在 \(x = 0\) 处有一个节点，即 \(\psi_1(0) = 0\)。
常见问题
为什么 \(\psi\) 会出现负值？这里的波函数取实数值，其符号会来回振荡；真正可观测的物理量是概率密度 \(|\psi|^2\)，它始终非负。
\(\psi_n\) 有多少个节点？恰好 \(n\) 个节点（过零点），位于势阱内部，这是第 \(n\) 个激发态的标志性特征。
\(\psi\) 已经归一化了吗？是的，在连续的 \(x\) 上，\(\psi_n^2\) 的积分等于 \(1\)。有限的离散采样网格只能近似得到该积分值。
