Что вычисляет этот калькулятор
Инструмент рассчитывает и строит график волновой функции одномерного квантового гармонического осциллятора (КГО) \(\psi_n(x)\) для заданного квантового числа \(n\) в выбранном диапазоне координат \(x\). КГО — одна из важнейших точно решаемых моделей квантовой механики: она описывает колебания молекул, фононы в кристаллах и моды электромагнитного поля. Волновые функции являются собственными состояниями гамильтониана с энергиями \(E_n = \hbar\omega(n + \tfrac{1}{2})\).
Система единиц
Чтобы результат оставался чисто числовым, координаты задаются в безразмерных единицах осцилляторной длины — это эквивалентно тому, что параметр \(\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar} = 1\). При таком выборе значения массы, угловой частоты и \(\hbar\) не требуются: вы вводите только \(n\) и параметры выборки по \(x\). Энергии выражаются в единицах \(\hbar\omega\), поэтому \(E_n\) просто равно \(n + \tfrac{1}{2}\).
Формула
Нормированная собственная функция записывается как
$$\psi_n(x) = N_n\, H_n(x)\, e^{-x^{2}/2}$$где нормировочная константа \(N_n = \sqrt{1 / (2^{n}\, n!\, \sqrt{\pi})}\), а \(H_n\) — полином Эрмита в «физической» нормировке. Полиномы Эрмита получают из устойчивого рекуррентного соотношения: \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\) и \(H_{k+1} = 2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\). Нормировка вычисляется в логарифмической области, чтобы избежать переполнения при больших \(n\).
Как пользоваться
Укажите квантовое число \(n\) (0, 1, 2, ...), начальную координату \(x\), шаг и количество точек выборки. Калькулятор вычисляет \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) для каждого \(i\) и возвращает значение \(\psi\) в каждой точке вместе с графиком зависимости \(\psi(x)\) от \(x\). Значения по умолчанию (начало \(-4\), шаг \(0{,}1\), 81 точка) дают диапазон \(x\) от \(-4\) до \(+4\).
Разобранный пример
Для \(n = 1\) при \(x = 1{,}0\): \(N_1 = \sqrt{1/(2\sqrt{\pi})} = 0{,}5311259\), \(H_1(1) = 2{,}0\) и \(e^{-0{,}5} = 0{,}6065307\). Следовательно,
$$\psi_1(1{,}0) = 0{,}5311259 \times 2{,}0 \times 0{,}6065307 = 0{,}6442715$$Состояние с \(n = 1\) имеет узел в точке \(x = 0\), где \(\psi_1(0) = 0\).
Частые вопросы
Почему \(\psi\) принимает отрицательные значения? Здесь волновые функции вещественны и меняют знак; физически наблюдаемая плотность вероятности — это \(|\psi|^2\), которая всегда неотрицательна.
Сколько узлов у \(\psi_n\)? Ровно \(n\) узлов (точек пересечения нуля) внутри ямы — характерный признак \(n\)-го возбуждённого состояния.
Нормирована ли \(\psi\)? Да, в непрерывном \(x\) интеграл от \(\psi_n^2\, dx\) равен 1. Конечная дискретная сетка лишь приближённо воспроизводит этот интеграл.
