Калькулятор гармонических колебаний

Введите расчет

Амплитуда A (м)

Частота f (Гц)

Фаза φ (радианы)

Время t (с)

Математическая формула

Show calculation steps (3)

1. Velocity v(t)

   

   v = -A ω sin(ω t + φ), with ω = 2π f

2. Acceleration a(t)

   

   a = -A ω² cos(ω t + φ), with ω = 2π f

3. Period T

   

   T = 1 / f

Результатов

Смещение x(t)

0,1545

метры

Скорость v(t)	-5,9757 m/s
Ускорение a(t)	-24,399 m/s²
Угловая частота ω	12,5664 rad/s
Период T	0,5 s

Что такое гармонические колебания?

Гармонические колебания (англ. simple harmonic motion, SHM) — это любое колебательное движение, при котором возвращающая сила прямо пропорциональна смещению: например, груз на пружине или маятник при малых углах отклонения. Положение тела во времени описывается косинусоидой. Этот калькулятор по четырём исходным данным — амплитуде \(A\), частоте \(f\), фазе \(\varphi\) и времени \(t\) — находит смещение, скорость, ускорение, угловую частоту и период в любой момент.

Груз на пружине, колеблющийся около положения равновесия, — классический пример простого гармонического движения.

Как пользоваться калькулятором

Введите амплитуду в метрах, частоту в герцах, начальную фазу в радианах и время в секундах. Калькулятор сначала вычисляет угловую частоту \(\omega = 2\pi f\), а затем подставляет её в уравнения смещения, скорости и ускорения для выбранного момента времени. Все результаты приводятся в системе СИ.

Разбор формулы

Основное уравнение —

$$x(t) = A \cos\!\left( \omega t + \varphi \right)$$

где \(\omega = 2\pi f\) — угловая частота в рад/с. Первая производная даёт скорость

$$v(t) = -A\omega \sin\!\left( \omega t + \varphi \right)$$

а вторая — ускорение

$$a(t) = -A\omega^{2} \cos\!\left( \omega t + \varphi \right) = -\omega^{2} x$$

Период

$$T = \frac{1}{f}$$

— это время одного полного колебания.

Смещение описывается косинусоидой; скорость и ускорение — синусоиды со сдвигом по фазе.

Пример расчёта

Пусть \(A = 0{,}5\) м, \(f = 2\) Гц, \(\varphi = 0\) и \(t = 0{,}1\) с. Тогда \(\omega = 2\pi(2) \approx 12{,}566\) рад/с, а аргумент косинуса \(\omega t = 1{,}2566\) рад. Смещение

$$x = 0{,}5 \cdot \cos(1{,}2566) \approx 0{,}1545 \text{ м}$$

Скорость

$$v = -0{,}5 \cdot 12{,}566 \cdot \sin(1{,}2566) \approx -5{,}975 \text{ м/с}$$

Ускорение

$$a = -0{,}5 \cdot 12{,}566^{2} \cdot \cos(1{,}2566) \approx -24{,}40 \text{ м/с}^{2}$$

Период \(T = 1/2 = 0{,}5\) с.

Частые вопросы

Почему фаза задаётся в радианах? Аргумент косинуса — это угол, поэтому \(\varphi\) и \(\omega t\) должны быть в одних и тех же единицах; в физике стандартом являются радианы.

Что будет, если частота равна нулю? Нулевая частота означает отсутствие колебаний: \(\omega = 0\), а период не определён (в результатах отображается как 0).

Подходит ли калькулятор для маятника? Да, при малых углах отклонения маятник совершает приблизительно гармонические колебания — в качестве \(f\) используйте его собственную частоту.