Qu'est-ce que le mouvement harmonique simple ?
Le mouvement harmonique simple (MHS) décrit toute oscillation dans laquelle la force de rappel est proportionnelle au déplacement, comme une masse accrochée à un ressort ou un pendule oscillant à faible amplitude. Sa position au cours du temps suit une fonction cosinus. Ce calculateur fournit la position, la vitesse, l'accélération, la pulsation et la période à n'importe quel instant à partir de quatre données : l'amplitude \(A\), la fréquence \(f\), la phase \(\varphi\) et le temps \(t\).
Comment l'utiliser
Saisissez l'amplitude en mètres, la fréquence en hertz, la phase à l'origine en radians et le temps en secondes. Le calculateur détermine d'abord \(\omega = 2\pi f\), puis évalue les équations de la position, de la vitesse et de l'accélération à l'instant choisi. Tous les résultats sont exprimés en unités SI.
La formule expliquée
L'équation fondamentale est $$x(t) = A \cos\!\left( \omega t + \varphi \right)$$ où \(\omega = 2\pi f\) désigne la pulsation en rad/s. Une première dérivation donne la vitesse $$v(t) = -A\omega \sin\!\left( \omega t + \varphi \right)$$ et une seconde l'accélération $$a(t) = -A\omega^{2} \cos\!\left( \omega t + \varphi \right) = -\omega^{2} x.$$ La période \(T = \frac{1}{f}\) correspond à la durée d'un cycle complet.
Exemple résolu
Prenons \(A = 0{,}5\ \text{m}\), \(f = 2\ \text{Hz}\), \(\varphi = 0\) et \(t = 0{,}1\ \text{s}\). On obtient alors $$\omega = 2\pi(2) \approx 12{,}566\ \text{rad/s},$$ et l'argument vaut \(\omega t = 1{,}2566\ \text{rad}\). La position est $$x = 0{,}5 \cdot \cos(1{,}2566) \approx 0{,}1545\ \text{m}.$$ La vitesse vaut $$v = -0{,}5 \cdot 12{,}566 \cdot \sin(1{,}2566) \approx -5{,}975\ \text{m/s}.$$ L'accélération est $$a = -0{,}5 \cdot 12{,}566^{2} \cdot \cos(1{,}2566) \approx -24{,}40\ \text{m/s}^{2}.$$ Enfin, la période \(T = \frac{1}{2} = 0{,}5\ \text{s}\).
FAQ
Pourquoi la phase est-elle exprimée en radians ? L'argument du cosinus est un angle : \(\varphi\) et \(\omega t\) doivent donc partager la même unité, et le radian est l'unité standard en physique.
Que se passe-t-il si la fréquence est nulle ? Une fréquence nulle signifie qu'il n'y a aucune oscillation : \(\omega = 0\) et la période n'est pas définie (elle est affichée comme 0).
Puis-je l'utiliser pour un pendule ? Oui : aux faibles amplitudes, un pendule se comporte approximativement comme un MHS ; utilisez sa fréquence propre pour \(f\).
