단순조화운동이란?
단순조화운동(SHM)은 복원력이 변위에 비례하는 모든 진동 현상을 가리킵니다. 용수철에 매달린 물체나 작은 각도로 흔들리는 진자가 대표적인 예죠. 이때 위치는 시간에 따라 코사인 곡선을 그리며 변합니다. 이 계산기는 진폭 \(A\), 진동수 \(f\), 위상 \(\varphi\), 시간 \(t\) 네 가지 값만 입력하면 특정 순간의 변위, 속도, 가속도, 각진동수, 주기를 즉시 구해 줍니다.
사용 방법
진폭은 미터(m), 진동수는 헤르츠(Hz), 위상각은 라디안(rad), 시간은 초(s) 단위로 입력하세요. 계산기는 먼저 \(\omega = 2\pi f\)를 구한 뒤, 입력한 순간에 대한 변위·속도·가속도 식을 계산합니다. 모든 결과는 SI 단위로 표시됩니다.
공식 풀이
핵심 식은 다음과 같으며,
$$x(t) = A \cos\!\left( \omega\, t + \varphi \right)$$여기서 \(\omega = 2\pi f\)는 각진동수(rad/s)입니다. 이 식을 시간으로 한 번 미분하면 속도
$$v(t) = -\,A\,\omega \sin\!\left( \omega\, t + \varphi \right)$$가 되고, 한 번 더 미분하면 가속도
$$a(t) = -\,A\,\omega^{2} \cos\!\left( \omega\, t + \varphi \right) = -\,\omega^{2}\, x$$가 됩니다. 주기 \(T = \frac{1}{f}\)는 한 번의 완전한 진동에 걸리는 시간을 뜻합니다.
계산 예시
\(A = 0.5\ \text{m}\), \(f = 2\ \text{Hz}\), \(\varphi = 0\), \(t = 0.1\ \text{s}\)라고 해 봅시다. 먼저 \(\omega = 2\pi(2) \approx 12.566\ \text{rad/s}\)이고, 코사인의 인수는 \(\omega t = 1.2566\ \text{rad}\)입니다. 변위 \(x = 0.5 \cdot \cos(1.2566) \approx 0.1545\ \text{m}\), 속도 \(v = -0.5 \cdot 12.566 \cdot \sin(1.2566) \approx -5.975\ \text{m/s}\), 가속도 \(a = -0.5 \cdot 12.566^{2} \cdot \cos(1.2566) \approx -24.40\ \text{m/s}^{2}\)가 됩니다. 주기는 \(T = \frac{1}{2} = 0.5\ \text{s}\)입니다.
자주 묻는 질문
위상은 왜 라디안 단위를 쓰나요? 코사인의 인수는 각도이므로 \(\varphi\)와 \(\omega t\)가 같은 단위를 가져야 합니다. 물리학에서는 라디안이 표준 단위입니다.
진동수가 0이면 어떻게 되나요? 진동수가 0이라는 것은 진동이 일어나지 않는다는 의미이므로 \(\omega = 0\)이 되고, 주기는 정의되지 않습니다(0으로 표시됩니다).
진자에도 사용할 수 있나요? 네, 작은 각도에서 진자는 근사적으로 단순조화운동을 합니다. 이때는 진자의 고유 진동수를 \(f\) 값으로 입력하면 됩니다.
