단순조화운동(SHM) 계산기

계산 입력

진폭 A (m)

진동수 f (Hz)

위상 φ (라디안)

시간 t (s)

공식

Show calculation steps (3)

1. Velocity v(t)

   

   v = -A ω sin(ω t + φ), with ω = 2π f

2. Acceleration a(t)

   

   a = -A ω² cos(ω t + φ), with ω = 2π f

3. Period T

   

   T = 1 / f

결과

변위 x(t)

0.1545

미터

속도 v(t)	-5.9757 m/s
가속도 a(t)	-24.399 m/s²
각진동수 ω	12.5664 rad/s
주기 T	0.5 s

단순조화운동이란?

단순조화운동(SHM)은 복원력이 변위에 비례하는 모든 진동 현상을 가리킵니다. 용수철에 매달린 물체나 작은 각도로 흔들리는 진자가 대표적인 예죠. 이때 위치는 시간에 따라 코사인 곡선을 그리며 변합니다. 이 계산기는 진폭 \(A\), 진동수 \(f\), 위상 \(\varphi\), 시간 \(t\) 네 가지 값만 입력하면 특정 순간의 변위, 속도, 가속도, 각진동수, 주기를 즉시 구해 줍니다.

용수철에 매달린 물체가 평형 위치를 중심으로 진동하는 것은 단순 조화 운동의 대표적인 예입니다.

사용 방법

진폭은 미터(m), 진동수는 헤르츠(Hz), 위상각은 라디안(rad), 시간은 초(s) 단위로 입력하세요. 계산기는 먼저 \(\omega = 2\pi f\)를 구한 뒤, 입력한 순간에 대한 변위·속도·가속도 식을 계산합니다. 모든 결과는 SI 단위로 표시됩니다.

공식 풀이

핵심 식은 다음과 같으며,

$$x(t) = A \cos\!\left( \omega\, t + \varphi \right)$$

여기서 \(\omega = 2\pi f\)는 각진동수(rad/s)입니다. 이 식을 시간으로 한 번 미분하면 속도

$$v(t) = -\,A\,\omega \sin\!\left( \omega\, t + \varphi \right)$$

가 되고, 한 번 더 미분하면 가속도

$$a(t) = -\,A\,\omega^{2} \cos\!\left( \omega\, t + \varphi \right) = -\,\omega^{2}\, x$$

가 됩니다. 주기 \(T = \frac{1}{f}\)는 한 번의 완전한 진동에 걸리는 시간을 뜻합니다.

변위는 코사인 곡선을 따르며, 속도와 가속도는 위상이 어긋난 사인파입니다.

계산 예시

\(A = 0.5\ \text{m}\), \(f = 2\ \text{Hz}\), \(\varphi = 0\), \(t = 0.1\ \text{s}\)라고 해 봅시다. 먼저 \(\omega = 2\pi(2) \approx 12.566\ \text{rad/s}\)이고, 코사인의 인수는 \(\omega t = 1.2566\ \text{rad}\)입니다. 변위 \(x = 0.5 \cdot \cos(1.2566) \approx 0.1545\ \text{m}\), 속도 \(v = -0.5 \cdot 12.566 \cdot \sin(1.2566) \approx -5.975\ \text{m/s}\), 가속도 \(a = -0.5 \cdot 12.566^{2} \cdot \cos(1.2566) \approx -24.40\ \text{m/s}^{2}\)가 됩니다. 주기는 \(T = \frac{1}{2} = 0.5\ \text{s}\)입니다.

자주 묻는 질문

위상은 왜 라디안 단위를 쓰나요? 코사인의 인수는 각도이므로 \(\varphi\)와 \(\omega t\)가 같은 단위를 가져야 합니다. 물리학에서는 라디안이 표준 단위입니다.

진동수가 0이면 어떻게 되나요? 진동수가 0이라는 것은 진동이 일어나지 않는다는 의미이므로 \(\omega = 0\)이 되고, 주기는 정의되지 않습니다(0으로 표시됩니다).

진자에도 사용할 수 있나요? 네, 작은 각도에서 진자는 근사적으로 단순조화운동을 합니다. 이때는 진자의 고유 진동수를 \(f\) 값으로 입력하면 됩니다.