सरल आवर्त गति (SHM) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

आयाम A (मीटर)

आवृत्ति f (Hz)

कला φ (रेडियन)

समय t (सेकंड)

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (3)

1. Velocity v(t)

   

   v = -A ω sin(ω t + φ), with ω = 2π f

2. Acceleration a(t)

   

   a = -A ω² cos(ω t + φ), with ω = 2π f

3. Period T

   

   T = 1 / f

परिणाम

विस्थापन x(t)

0.1545

मीटर

वेग v(t)	-5.9757 m/s
त्वरण a(t)	-24.399 m/s²
कोणीय आवृत्ति ω	12.5664 rad/s
आवर्तकाल T	0.5 s

सरल आवर्त गति क्या है?

सरल आवर्त गति (SHM) उस प्रत्येक दोलन को कहते हैं जिसमें प्रत्यानयन बल (restoring force) विस्थापन के समानुपाती होता है — जैसे स्प्रिंग पर लटका कोई द्रव्यमान या छोटे कोण पर झूलता लोलक। समय के साथ इसकी स्थिति एक कोसाइन तरंग की तरह बदलती है। यह कैलकुलेटर चार इनपुट — आयाम A, आवृत्ति f, कला φ और समय t — से किसी भी क्षण का विस्थापन, वेग, त्वरण, कोणीय आवृत्ति और आवर्तकाल निकाल देता है।

स्प्रिंग पर लगा द्रव्यमान अपनी साम्यावस्था के चारों ओर दोलन करता है, जो सरल आवर्त गति का एक उत्कृष्ट उदाहरण है।

इसका उपयोग कैसे करें

आयाम मीटर में, आवृत्ति हर्ट्ज़ में, कला कोण रेडियन में और समय सेकंड में दर्ज करें। कैलकुलेटर पहले \( \omega = 2\pi f \) निकालता है, फिर आपके चुने हुए क्षण पर विस्थापन, वेग और त्वरण के समीकरणों का मान निकालता है। सभी परिणाम SI मात्रकों में आते हैं।

सूत्र की व्याख्या

मूल समीकरण है $$x(t) = A \cos\!\left( \omega t + \varphi \right)$$ जहाँ \( \omega = 2\pi f \) कोणीय आवृत्ति है (मात्रक rad/s)। इसका एक बार अवकलन करने पर वेग $$v(t) = -A\omega \sin\!\left( \omega t + \varphi \right)$$ मिलता है, और दोबारा अवकलन करने पर त्वरण $$a(t) = -A\omega^{2} \cos\!\left( \omega t + \varphi \right) = -\omega^{2} x$$ प्राप्त होता है। आवर्तकाल \( T = \frac{1}{f} \) एक पूर्ण चक्र पूरा करने में लगने वाला समय है।

विस्थापन एक कोसाइन वक्र का अनुसरण करता है; वेग और त्वरण कलांतर वाले ज्यावक्र हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \( A = 0.5 \) मीटर, \( f = 2 \) Hz, \( \varphi = 0 \) और \( t = 0.1 \) s। तब \( \omega = 2\pi(2) \approx 12.566 \) rad/s और कोण \( \omega t = 1.2566 \) rad होगा। विस्थापन $$x = 0.5 \cdot \cos(1.2566) \approx 0.1545 \text{ मीटर}$$ वेग $$v = -0.5 \cdot 12.566 \cdot \sin(1.2566) \approx -5.975 \text{ m/s}$$ त्वरण $$a = -0.5 \cdot 12.566^{2} \cdot \cos(1.2566) \approx -24.40 \text{ m/s}^{2}$$ आवर्तकाल \( T = \frac{1}{2} = 0.5 \) s।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

कला (phase) में रेडियन क्यों इस्तेमाल होता है? कोसाइन का तर्क (argument) एक कोण होता है, इसलिए \( \varphi \) और \( \omega t \) का मात्रक एक ही होना चाहिए; भौतिकी में रेडियन ही मानक है।

अगर आवृत्ति शून्य हो तो क्या होगा? शून्य आवृत्ति का अर्थ है कोई दोलन नहीं, यानी \( \omega = 0 \) और आवर्तकाल अपरिभाषित हो जाता है (यहाँ 0 दिखाया जाता है)।

क्या इसे लोलक के लिए इस्तेमाल कर सकते हैं? हाँ, छोटे कोणों पर लोलक की गति लगभग SHM होती है; \( f \) के लिए उसकी प्राकृतिक आवृत्ति का उपयोग करें।