중력 시간 지연이란?
아인슈타인의 일반 상대성 이론에 따르면, 중력장이 강할수록 시계는 더 느리게 흐릅니다. 거대한 천체의 중력 우물 깊은 곳에 있는 시계는 멀리 떨어진 곳에 있는 동일한 시계보다 더 느리게 째깍거립니다. 이 계산기는 슈바르츠실트 해(解)를 이용해 이 효과를 정량화합니다. 천체의 질량, 중심으로부터의 거리, 그리고 멀리 있는 관측자가 측정한 경과 시간을 입력하면, 질량체 가까이에서 실제로 흐르는 고유 시간을 돌려줍니다.
사용 방법
세 가지 값을 입력하세요. 중력을 만드는 천체의 질량(kg 단위), 중심으로부터의 반지름 거리 \(r\)(m 단위), 그리고 멀리서 측정한 경과 시간(초 단위)입니다. 계산기는 고유 시간 \(t_0\), 차원이 없는 시간 지연 인자, 그리고 두 시계 사이의 차이를 출력합니다. 5.972e24와 같은 지수 표기법도 입력할 수 있습니다.
공식 풀이
핵심 방정식은 $$t_0 = \text{Time far} \sqrt{1 - \frac{2G\,\text{Mass}}{\text{Radius}\,c^{2}}}$$ 이며, 여기서 \(G = 6.67430\times10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\), \(c = 299{,}792{,}458\ \text{m/s}\) 입니다. \(2GM/c^2\) 라는 값이 바로 슈바르츠실트 반지름입니다. \(r\)이 슈바르츠실트 반지름에 가까워질수록 제곱근 안의 항은 0에 가까워지고, 멀리 있는 관측자의 입장에서 시간은 사실상 멈춥니다. 바로 이 지점이 블랙홀의 사건의 지평선(event horizon)입니다.
계산 예시
지구(\(M = 5.972\times10^{24}\ \text{kg}\))의 표면(\(r = 6{,}371{,}000\ \text{m}\))에서 \(2GM/(rc^2)\) 항은 약 \(1.39\times10^{-9}\) 입니다. 시간 지연 인자는 약 \(0.9999999993\) 이므로, 멀리서 1초가 흐르는 동안 지표면의 시계는 약 \(0.9999999993\)초를 기록합니다. 1초당 약 \(7\times10^{-10}\)초의 차이가 나는 셈인데, 이것이 1년 동안 쌓이면 수십 마이크로초에 이릅니다. GPS 위성이 상대성 이론을 반드시 보정해야 하는 이유가 바로 여기에 있습니다.
자주 묻는 질문(FAQ)
중력이 강한 곳에서는 시계가 빨라지나요, 느려지나요? 느려집니다. 중력 우물 깊이 들어갈수록, 멀리 있는 시계에 비해 더 천천히 째깍거립니다.
\(r\)이 슈바르츠실트 반지름보다 작으면 어떻게 되나요? 제곱근 안의 항이 음수가 됩니다. 사건의 지평선 안쪽에서는 표준적인 외부 공식이 더 이상 성립하지 않으므로, 계산기는 인자를 0으로 고정합니다.
이건 특수 상대성 이론인가요, 일반 상대성 이론인가요? 이것은 중력에 의한(일반 상대성 이론) 시간 지연입니다. 속도에 의한 특수 상대성 이론의 시간 지연과는 별개의 현상입니다.
