상대론적 시간 지연 계산기

계산 입력

고유 시간 t₀ (초)

속도 v (m/s)

결과

지연된 시간 (관측값)

1.154967

초

로런츠 인자 (γ)	1.154967
시간 차이 (Δt)	0.154967 s
속도 비율 (v/c = β)	0.500346

시간 지연이란?

시간 지연(Time Dilation)은 알베르트 아인슈타인의 특수상대성이론이 내놓은 가장 유명한 예측 중 하나입니다. 관측자에 대해 운동하는 시계는 정지해 있는 시계보다 더 느리게 간다는 것이죠. 물체가 빠르게 움직일수록 이 효과는 더 두드러지지만, 속도가 빛의 속도 \(c \approx 299{,}792{,}458\ \text{m/s}\)에 가까워질 때에야 비로소 의미 있는 크기로 나타납니다. 이 계산기는 특정 국가에 국한되지 않는 보편적인 물리 법칙을 다루므로 어디에서나 그대로 적용됩니다.

광속에 가깝게 움직이는 시계는 정지한 시계보다 느리게 간다.

계산기 사용법

고유 시간 t₀ — 즉 운동하는 좌표계에서 측정한 시간 간격(예: 우주선 자체의 시계로 잰 시간) — 을 입력하고, 속도 v를 초당 미터(m/s) 단위로 넣으세요. 그러면 계산기가 정지한 관측자가 보는 지연된 시간 t, 로런츠 인자 γ, 시간 차이, 그리고 빛의 속도에 대한 비율(\(\beta = v/c\))을 함께 알려 줍니다.

공식 풀이

두 시간의 관계는 다음과 같이 표현됩니다.

$$t = \dfrac{\text{Proper Time } t_0}{\sqrt{1 - \dfrac{\text{Velocity } v^{2}}{c^{2}}}}$$

빛보다 느린 속도에서는 분모 \(\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}\)가 항상 0과 1 사이의 값이므로, 이 값으로 나누면 t는 t₀보다 커집니다. \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}\)를 로런츠 인자라고 부릅니다. 일상적인 속도에서는 \(\gamma \approx 1\)이라 시간 지연이 거의 무시할 만큼 작지만, \(v = 0.866c\)에서는 \(\gamma = 2\)가 되어 시간이 절반 속도로 흐르게 됩니다.

로런츠 인자는 v가 c에 가까워질 때까지 1 근처에 머물다가 급격히 커진다.

계산 예시

어떤 시계가 \(v = 150{,}000{,}000\ \text{m/s}\)로 움직이면서 \(t_0 = 1\)초를 가리킨다고 가정해 봅시다. 이때 \(\beta = 150{,}000{,}000 / 299{,}792{,}458 \approx 0.50035\)입니다. 따라서 \(\beta^{2} \approx 0.25035\), \(1 - \beta^{2} \approx 0.74965\), \(\sqrt{0.74965} \approx 0.86582\)가 됩니다. 그러면 다음과 같이 됩니다.

$$t = \frac{1}{0.86582} \approx 1.1550\ \text{초}$$

즉 정지한 관측자는 움직이는 시계의 1초마다 약 1.155초가 걸리는 것으로 보게 됩니다.

자주 묻는 질문

일상적인 속도에서도 시간 지연이 일어나나요? 네, 일어나지만 측정이 불가능할 만큼 미미합니다. 시속 100km에서 γ는 1과 약 \(4 \times 10^{-15}\) 정도만 차이가 납니다.

빛의 속도에 도달하면 어떻게 되나요? v가 c에 가까워지면 분모가 0에 수렴하고 t는 무한대로 발산합니다. 이것이 바로 질량을 가진 물체가 빛의 속도에 도달할 수 없는 이유입니다.

이건 중력에 의한 시간 지연인가요? 아닙니다 — 이 도구는 속도에 의한(특수상대성이론) 시간 지연만 다루며, 일반상대성이론의 중력 효과는 포함하지 않습니다.