닮음변환이란?
닮음변환은 도형의 모양과 방향은 그대로 유지한 채 비율 \(k\)만큼 크기를 바꾸는 기하학적 변환입니다. 모든 점은 닮음의 중심이라 부르는 고정점을 기준으로, 0 < k < 1일 때는 중심 쪽으로 가까워지고 k > 1일 때는 중심에서 멀어집니다. k가 음수이면 점이 중심을 기준으로 반대편으로 대칭 이동하면서 동시에 크기가 조절됩니다. 이 계산기는 원하는 중심을 기준으로 임의의 점이 어디로 옮겨지는지(상의 좌표)를 계산해 줍니다.
사용 방법
원래 점의 좌표 \((x, y)\), 닮음의 중심 \((c_x, c_y)\), 그리고 비율 \(k\)를 입력하세요. 계산기가 변환된 상의 점 \((x', y')\)을 알려 줍니다. 중심이 원점이라면 \(c_x\)와 \(c_y\)를 그대로 0으로 두면 됩니다. 이 경우 공식은 $$(x', y') = (kx,\; ky)$$ 로 간단해집니다.
공식 풀이
상의 점은 다음 과정으로 구합니다. 먼저 중심에서 원래 점까지의 변위를 구하고, 그 변위에 \(k\)를 곱한 뒤, 다시 중심 좌표를 더합니다:
$$x' = c_x + k(x - c_x)$$$$y' = c_y + k(y - c_y)$$여기서 \((x - c_x,\, y - c_y)\)는 중심에서 점으로 향하는 벡터입니다. 여기에 \(k\)를 곱하면 이 벡터가 늘어나거나 줄어들고, 중심 좌표를 다시 더하면 변환된 점이 좌표평면 위에 자리잡게 됩니다.
예제로 보기
점 \((4, 6)\)을 원점 \((0, 0)\)을 중심으로 비율 \(0.5\)만큼 닮음변환해 봅시다:
$$x' = 0 + 0.5 \times (4 - 0) = 2$$$$y' = 0 + 0.5 \times (6 - 0) = 3$$상의 점은 \((2, 3)\)입니다. 비율이 \(1/2\)이므로 예상대로 원점에서의 거리가 정확히 절반으로 줄었습니다.
자주 묻는 질문
k = 1이면 어떻게 되나요? 점은 원래 자리에 그대로 있습니다. 비율 1은 아무것도 바꾸지 않는 항등변환입니다.
k가 음수이면 어떤 일이 일어나나요? 점의 크기가 조절되는 동시에 중심을 기준으로 대칭 이동하여 반대편에 놓이게 됩니다.
중심이 반드시 원점이어야 하나요? 아닙니다. 어떤 점이든 닮음의 중심이 될 수 있으며, 이 계산기는 입력한 어떤 중심이라도 처리할 수 있습니다.
