Qu'est-ce qu'une homothétie ?
Une homothétie est une transformation géométrique qui redimensionne une figure selon un rapport k tout en conservant sa forme et son orientation. Chaque point se rapproche (lorsque 0 < k < 1) ou s'éloigne (lorsque k > 1) d'un point fixe appelé centre de l'homothétie. Un rapport k négatif effectue à la fois un agrandissement (ou une réduction) et une symétrie du point par rapport au centre. Ce calculateur détermine l'image de n'importe quel point après une homothétie de centre quelconque.
Comment l'utiliser
Renseignez les coordonnées du point d'origine (x, y), le centre de l'homothétie (cx, cy) et le rapport k. Le calculateur affiche le point image transformé (x', y'). Si votre centre est l'origine, laissez simplement cx et cy à 0 : la formule se réduit alors à \((x', y') = (kx, ky)\).
La formule expliquée
On obtient le point image en mesurant le déplacement du point d'origine par rapport au centre, en multipliant ce déplacement par \(k\), puis en l'ajoutant de nouveau aux coordonnées du centre :
$$x' = c_x + k\,(x - c_x)$$$$y' = c_y + k\,(y - c_y)$$Le terme \((x - c_x,\, y - c_y)\) représente le vecteur allant du centre vers le point. La multiplication par \(k\) étire ou contracte ce vecteur, et l'ajout du centre replace le résultat dans le plan de coordonnées.
Exemple résolu
Appliquons une homothétie au point (4, 6) avec un rapport de 0,5 et de centre l'origine (0, 0) :
$$x' = 0 + 0{,}5 \times (4 - 0) = 2$$$$y' = 0 + 0{,}5 \times (6 - 0) = 3$$Le point image est (2, 3), soit exactement deux fois plus proche de l'origine, comme on s'y attend pour un rapport d'un demi.
FAQ
Que se passe-t-il lorsque k = 1 ? Le point reste exactement à sa place ; un rapport égal à 1 correspond à la transformation identité.
Que fait un rapport k négatif ? Il redimensionne le point et effectue sa symétrie par rapport au centre, le plaçant du côté opposé.
Le centre doit-il forcément être l'origine ? Non. N'importe quel point peut servir de centre d'homothétie, et ce calculateur gère tous les centres que vous indiquez.
