Что такое гомотетия?
Гомотетия — это геометрическое преобразование, которое масштабирует фигуру с коэффициентом k, сохраняя её форму и ориентацию. Каждая точка приближается к фиксированной точке (когда 0 < k < 1) или удаляется от неё (когда k > 1). Эта фиксированная точка называется центром гомотетии. Отрицательный коэффициент k не только масштабирует точку, но и отражает её относительно центра. Этот калькулятор находит образ любой точки после гомотетии относительно произвольно выбранного центра.
Как пользоваться калькулятором
Введите координаты исходной точки (x, y), координаты центра гомотетии (cx, cy) и коэффициент k. Калькулятор выдаст координаты образа — точки (x′, y′). Если центр совпадает с началом координат, просто оставьте cx и cy равными 0 — тогда формула упрощается до \((x', y') = (kx, ky)\).
Разбор формулы
Чтобы найти образ точки, нужно определить смещение исходной точки относительно центра, умножить это смещение на k и снова прибавить к координатам центра:
$$x' = c_x + k\,(x - c_x)$$$$y' = c_y + k\,(y - c_y)$$Выражение \((x - c_x,\ y - c_y)\) — это вектор, направленный от центра к точке. Умножение на k растягивает или сжимает этот вектор, а прибавление координат центра возвращает результат на координатную плоскость.
Пример с решением
Применим гомотетию к точке (4, 6) с коэффициентом 0,5 относительно начала координат (0, 0):
$$x' = 0 + 0{,}5 \times (4 - 0) = 2$$$$y' = 0 + 0{,}5 \times (6 - 0) = 3$$Образ — точка (2, 3): она ровно вдвое ближе к началу координат, что и следовало ожидать при коэффициенте, равном одной второй.
Часто задаваемые вопросы
Что происходит при k = 1? Точка остаётся ровно на своём месте: коэффициент, равный 1, задаёт тождественное преобразование.
Что даёт отрицательный коэффициент k? Он масштабирует точку и одновременно отражает её относительно центра, перемещая на противоположную сторону.
Обязательно ли центр должен совпадать с началом координат? Нет. Центром гомотетии может служить любая точка, и калькулятор корректно обрабатывает любой указанный вами центр.
