डाइलेशन क्या है?
डाइलेशन एक ज्यामितीय रूपांतरण है जो किसी आकृति का आकार स्केल फैक्टर k के अनुसार बड़ा या छोटा करता है, जबकि उसका आकार (shape) और दिशा (orientation) वैसी ही बनी रहती है। हर बिंदु एक निश्चित बिंदु, जिसे डाइलेशन का केंद्र कहते हैं, की ओर खिसकता है (जब \(0 < k < 1\)) या उससे दूर जाता है (जब \(k > 1\))। यदि \(k\) ऋणात्मक हो, तो बिंदु स्केल होने के साथ-साथ केंद्र के पार परावर्तित (reflect) भी हो जाता है। यह कैलकुलेटर किसी भी चुने गए केंद्र के सापेक्ष किसी भी बिंदु का डाइलेशन के बाद का प्रतिबिंब निकाल देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
मूल बिंदु के निर्देशांक \((x, y)\), डाइलेशन का केंद्र \((c_x, c_y)\) और स्केल फैक्टर \(k\) डालें। कैलकुलेटर रूपांतरित प्रतिबिंब बिंदु \((x', y')\) लौटा देगा। यदि आपका केंद्र मूल बिंदु (origin) है, तो बस \(c_x\) और \(c_y\) को 0 ही रहने दें — तब सूत्र सरल होकर $$(x', y') = (kx, ky)$$ बन जाता है।
सूत्र की व्याख्या
प्रतिबिंब बिंदु निकालने के लिए पहले मूल बिंदु की केंद्र से दूरी (विस्थापन) मापते हैं, फिर उस विस्थापन को \(k\) से गुणा करते हैं, और अंत में उसे केंद्र में वापस जोड़ देते हैं:
$$x' = c_x + k(x - c_x)$$$$y' = c_y + k(y - c_y)$$यहाँ पद \((x - c_x,\, y - c_y)\) केंद्र से बिंदु तक का सदिश (vector) है। इसे \(k\) से गुणा करने पर यह सदिश खिंचता या सिकुड़ता है, और केंद्र को फिर से जोड़ने पर परिणाम सही जगह निर्देशांक तल पर आ जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
बिंदु \((4, 6)\) का मूल बिंदु \((0, 0)\) के सापेक्ष \(0.5\) के फैक्टर से डाइलेशन कीजिए:
$$x' = 0 + 0.5 \times (4 - 0) = 2$$$$y' = 0 + 0.5 \times (6 - 0) = 3$$प्रतिबिंब बिंदु \((2, 3)\) है — यानी मूल बिंदु से ठीक आधी दूरी पर, जो आधे स्केल फैक्टर के लिए अपेक्षित ही है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
जब \(k = 1\) हो तो क्या होता है? बिंदु ठीक अपनी जगह पर बना रहता है; 1 का स्केल फैक्टर एक तत्समक (identity) रूपांतरण होता है।
ऋणात्मक \(k\) क्या करता है? यह बिंदु को स्केल करता है और साथ ही केंद्र के पार परावर्तित कर देता है, जिससे वह विपरीत दिशा में जा बैठता है।
क्या केंद्र का मूल बिंदु (origin) होना ज़रूरी है? नहीं। कोई भी बिंदु डाइलेशन का केंद्र बन सकता है, और यह कैलकुलेटर आपके दिए किसी भी केंद्र के साथ काम करता है।
