"कम से कम एक बार" की प्रायिकता क्या है?
"कम से कम एक बार होने की प्रायिकता" यह बताती है कि जब आप किसी प्रयोग को कई बार दोहराते हैं, तो कोई घटना एक या उससे अधिक बार घटित होने की कितनी संभावना है। भले ही किसी एक बार में वह घटना होना मुश्किल लगे, लेकिन प्रयोग को बार-बार दोहराने पर उसका कम से कम एक बार होना लगभग तय हो सकता है। यह कैलकुलेटर स्वतंत्र प्रयासों के लिए सरल पूरक नियम (complement rule) का उपयोग करता है।
सूत्र
यदि हर प्रयास में सफलता की प्रायिकता p समान हो और सभी प्रयास एक-दूसरे से स्वतंत्र हों, तो:
$$P(\text{कम से कम एक}) = 1 - \left(1 - p\right)^{n}$$
यहाँ ट्रिक यह है कि पहले आसान वाला उल्टा हिसाब लगाया जाए। एक प्रयास में घटना के कभी न होने की प्रायिकता \((1 - p)\) है। n स्वतंत्र प्रयासों में यह \((1 - p)^{n}\) बन जाती है। इसे 1 में से घटाने पर हमें घटना के कम से कम एक बार होने की संभावना मिल जाती है।
इसका उपयोग कैसे करें
प्रति-प्रयास प्रायिकता p को 0 और 1 के बीच दशमलव के रूप में डालें (उदाहरण के लिए, 0.1 का मतलब 10% संभावना), और प्रयासों की संख्या n दर्ज करें। कैलकुलेटर कम से कम एक बार घटना होने की प्रायिकता दशमलव और प्रतिशत दोनों रूप में बताएगा, साथ ही शून्य बार होने की प्रायिकता भी।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए एक बार पासा फेंकने पर छह आने की संभावना \(1/6 \approx 0.1667\) है, और आप पासे को 4 बार फेंकते हैं। छह न आने की प्रायिकता $$(1 - 0.1667)^{4} = (0.8333)^{4} \approx 0.4823$$ है। इसलिए कम से कम एक बार छह आने की प्रायिकता \(1 - 0.4823 \approx 0.5177\), यानी लगभग 51.8% होती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह स्वतंत्र प्रयासों को मानकर चलता है? हाँ। हर प्रयास स्वतंत्र होना चाहिए और उसकी प्रायिकता p समान होनी चाहिए। यदि एक परिणाम दूसरे को प्रभावित करता है, तो यह सूत्र सीधे लागू नहीं होगा।
क्या p को प्रतिशत में डाल सकते हैं? पहले इसे दशमलव में बदलें — 25% का मतलब 0.25 होगा।
पूरक (complement) ही क्यों निकालें? "एक बार भी न हो" की गणना केवल एक गुणनफल है, जो ठीक एक बार, ठीक दो बार वगैरह की सभी प्रायिकताओं को जोड़ने की तुलना में कहीं ज़्यादा आसान है।
