प्रायिकता बंटन का प्रसरण कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

परिणाम x (अल्पविराम से अलग)

प्रायिकताएँ p (अल्पविराम से अलग)

परिणाम

प्रसरण Var(X)

0.49

बंटन का σ²

माध्य μ = Σ pᵢxᵢ	2.1
E[X²] = Σ pᵢxᵢ²	4.9
मानक विचलन σ	0.7
Σ pᵢ (1 होना चाहिए)	1

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी विविक्त (discrete) यादृच्छिक चर का प्रसरण (variance) और मानक विचलन (standard deviation) उसके प्रायिकता बंटन से निकालता है। आप हर संभव परिणाम (\(x_i\)) और उस परिणाम की प्रायिकता (\(p_i\)) डालते हैं, और कैलकुलेटर आपको प्रसरण Var(X), माध्य \(\mu\), X² का प्रत्याशित मान, और मानक विचलन \(\sigma\) देता है। प्रसरण यह बताता है कि परिणाम माध्य के आसपास कितने फैले हुए हैं — कम प्रसरण का मतलब है परिणाम औसत के पास सिमटे हुए हैं, जबकि अधिक प्रसरण दिखाता है कि वे दूर-दूर तक बिखरे हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले बॉक्स में परिणामों को अल्पविराम (comma) से अलग करके लिखें (उदाहरण के लिए 1, 2, 3)। दूसरे बॉक्स में उसी क्रम में संगत प्रायिकताएँ डालें (उदाहरण के लिए 0.2, 0.5, 0.3)। सभी प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए; कैलकुलेटर \(\Sigma p_i\) दिखाता है ताकि आप इसे जाँच सकें। प्रसरण और जुड़े आँकड़े देखने के लिए "गणना करें" पर क्लिक करें।

सूत्र की व्याख्या

प्रसरण के लिए यह सुविधाजनक गणनात्मक रूप काम आता है:

$$\operatorname{Var}(X) = \sum p_i x_i^{2} - \left(\sum p_i x_i\right)^{2}$$

यहाँ \(\sum p_i x_i\) माध्य \(\mu = E[X]\) है, और \(\sum p_i x_i^{2}\) यानी \(E[X^2]\) है। \(E[X^2]\) में से माध्य का वर्ग घटाने पर प्रसरण मिल जाता है। यह बीजगणितीय रूप से उसी परिभाषा \(\operatorname{Var}(X) = \sum p_i (x_i - \mu)^2\) के बराबर है, पर एक ही चरण में हिसाब लगाना आसान बना देता है। मानक विचलन बस \(\sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}\) होता है।

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प्रसरण मापता है कि परिणाम बंटन के माध्य के चारों ओर कितना फैले हुए हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए X मान 1, 2, 3 लेता है जिनकी प्रायिकताएँ 0.2, 0.5, 0.3 हैं। माध्य होगा $$\mu = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$$ $$E[X^2] = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$$ तो $$\operatorname{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$$ और \(\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7\)।

प्रत्येक परिणाम प्रसरण सूत्र के दो योगों में \(p_i x_i\) और \(p_i x_i^{2}\) का योगदान देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या प्रायिकताओं का योग 1 होना ज़रूरी है? हाँ, एक वैध बंटन के लिए ज़रूरी है। कैलकुलेटर \(\Sigma p_i\) दिखाता है ताकि आप पुष्टि कर सकें। अगर यह योग 1 नहीं है, तो आपके परिणाम सही नहीं होंगे।

प्रसरण और मानक विचलन में क्या फ़र्क है? प्रसरण वर्ग इकाइयों (squared units) में होता है; मानक विचलन उसका वर्गमूल है, जो X की ही इकाइयों में आता है — इसी वजह से इसे समझना आसान होता है।

क्या प्रसरण ऋणात्मक हो सकता है? नहीं। गणितीय रूप से प्रसरण हमेशा \(\geq 0\) होता है। अगर परिणाम ऋणात्मक आ रहा है, तो इसका मतलब है कि प्रायिकताएँ डालने में कोई गलती हुई है।