Olasılık Dağılımı Varyans Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Sonuçlar x (virgülle ayrılmış)

Olasılıklar p (virgülle ayrılmış)

Sonuç

Varyans Var(X)

0,49

Dağılımın σ² değeri

Ortalama μ = Σ pᵢxᵢ	2,1
E[X²] = Σ pᵢxᵢ²	4,9
Standart sapma σ	0,7
Σ pᵢ (1 olmalı)	1

Bu Araç Ne İşe Yarar?

Bu hesaplayıcı, kesikli bir rastgele değişkenin varyansını ve standart sapmasını olasılık dağılımından yola çıkarak hesaplar. Olası her sonucu (\(x_i\)) ve bu sonucun olasılığını (\(p_i\)) girdiğinizde araç size \(\text{Var}(X)\) varyansını, ortalama \(\mu\) değerini, \(X^2\)'nin beklenen değerini ve \(\sigma\) standart sapmasını verir. Varyans, sonuçların ortalamadan ne kadar dağıldığını ölçer — düşük varyans sonuçların ortalamaya yakın toplandığını, yüksek varyans ise sonuçların geniş bir aralığa yayıldığını gösterir.

Nasıl Kullanılır?

Sonuçları ilk kutuya virgülle ayırarak yazın (örneğin 1, 2, 3). İkinci kutuya da aynı sırayla ilgili olasılıkları girin (örneğin 0.2, 0.5, 0.3). Olasılıkların toplamı 1 olmalıdır; hesaplayıcı bunu doğrulayabilmeniz için \(\sum p_i\) değerini de gösterir. Hesapla düğmesine tıklayarak varyansı ve ilgili istatistikleri görebilirsiniz.

Formülün Açıklaması

Varyans, hesaplama açısından pratik olan şu biçimi kullanır:

$$\text{Var}(X) = \sum p_i x_i^{2} - \left(\sum p_i x_i\right)^{2}$$

Burada \(\sum p_i x_i\), ortalama \(\mu = E[X]\) değeridir; \(\sum p_i x_i^{2}\) ise \(E[X^2]\)'dir. \(E[X^2]\) değerinden ortalamanın karesini çıkarmak varyansı verir. Bu ifade, \(\text{Var}(X) = \sum p_i(x_i - \mu)^2\) tanımıyla cebirsel olarak tamamen aynıdır ancak tek geçişte hesaplaması daha kolaydır. Standart sapma ise basitçe \(\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}\) şeklindedir.

Reklam

Varyans, sonuçların dağılımın ortalaması etrafında ne kadar yayıldığını ölçer.

Çözümlü Örnek

X değişkeninin 0.2, 0.5 ve 0.3 olasılıklarıyla 1, 2, 3 değerlerini aldığını varsayalım. Ortalama $$\mu = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$$ olur. $$E[X^2] = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$$ olur. Buradan $$\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^{2} = 4.9 - 4.41 = 0.49$$ ve \(\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7\) elde edilir.

Her sonuç, varyans formülündeki iki toplama \(p_i x_i\) ve \(p_i x_i^{2}\) katkısı sağlar.

Sıkça Sorulan Sorular

Olasılıkların toplamı mutlaka 1 olmalı mı? Evet, geçerli bir dağılım için bu şarttır. Hesaplayıcı, kontrol edebilmeniz için \(\sum p_i\) değerini gösterir. Toplam 1 değilse sonuçlarınız hatalı olur.

Varyans ile standart sapma arasındaki fark nedir? Varyans, kare birim cinsindendir; standart sapma ise onun kareköküdür ve X ile aynı birimle ifade edilir. Bu da yorumlanmasını kolaylaştırır.

Varyans negatif olabilir mi? Hayır. Matematiksel olarak varyans her zaman \(\geq 0\)'dır. Negatif bir sonuç, olasılıklarda bir giriş hatası yaptığınızı gösterir.