確率分布の分散を求める計算ツール｜分散・標準偏差の計算

結果

分散 Var(X)

0.49

分布の σ²

平均 μ = Σ pᵢxᵢ	2.1
E[X²] = Σ pᵢxᵢ²	4.9
標準偏差 σ	0.7
Σ pᵢ（1になるはず）	1

この計算ツールでできること

このツールは、離散型の確率変数について、その確率分布から分散と標準偏差を計算します。起こりうる各結果（$x_i$）と、その結果が起こる確率（$p_i$）を入力すると、分散$\text{Var}(X)$、平均$\mu$、$X^2$の期待値、そして標準偏差$\sigma$を返します。分散とは、結果が平均からどれだけばらついているかを表す指標です。分散が小さいほど結果は平均の近くに集まり、分散が大きいほど結果は広く散らばっていることを意味します。

使い方

最初の入力欄に、結果をカンマ区切りで入力します（例：1, 2, 3）。次の入力欄には、それぞれに対応する確率を同じ順番で入力します（例：0.2, 0.5, 0.3）。確率の合計は1になる必要があります。本ツールは$\sum p_i$を表示するので、合計が1かどうかを確認できます。「計算」をクリックすると、分散と関連する統計量が表示されます。

公式の解説

分散の計算には、扱いやすい次の計算式を使います。

$$\text{Var}(X) = \sum p_i x_i^{2} - \left(\sum p_i x_i\right)^{2}$$

ここで $\sum p_i x_i$ は平均 $\mu = E[X]$、$\sum p_i x_i^{2}$ は $E[X^2]$ を表します。$E[X^2]$ から平均の2乗を引くと分散が得られます。これは定義式 $\text{Var}(X) = \sum p_i (x_i - \mu)^{2}$ と数学的にまったく同じ結果になりますが、一度の計算で求められるため計算がより簡単です。標準偏差は $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ で求めます。

平均線と散らばりを示す矢印付きの離散確率分布の棒グラフ — 分散は、結果が分布の平均の周りにどれだけ散らばっているかを測ります。

計算例

Xが値1, 2, 3をそれぞれ確率0.2, 0.5, 0.3でとる場合を考えます。平均は $$\mu = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$$ です。$$E[X^2] = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$$ となります。よって $$\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^{2} = 4.9 - 4.41 = 0.49,$$ そして $\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7$ です。