확률분포의 분산 계산기

결과

분산 Var(X)

0.49

분포의 σ²

평균 μ = Σ pᵢxᵢ	2.1
E[X²] = Σ pᵢxᵢ²	4.9
표준편차 σ	0.7
Σ pᵢ (1이 되어야 함)	1

이 계산기의 기능

이 도구는 확률분포로부터 이산확률변수의 분산과 표준편차를 계산합니다. 가능한 각 결과값($x_i$)과 그 결과가 나올 확률($p_i$)을 입력하면, 분산 $\text{Var}(X)$, 평균 $\mu$, $X^2$의 기댓값, 그리고 표준편차 $\sigma$를 계산해 줍니다. 분산은 결과값들이 평균을 중심으로 얼마나 퍼져 있는지를 나타냅니다. 분산이 작으면 결과값들이 평균 가까이 모여 있다는 뜻이고, 분산이 크면 넓게 흩어져 있다는 의미입니다.

사용 방법

첫 번째 칸에 결과값을 쉼표로 구분해 입력합니다(예: 1, 2, 3). 두 번째 칸에는 같은 순서로 대응하는 확률을 입력합니다(예: 0.2, 0.5, 0.3). 확률의 합은 1이 되어야 하며, 계산기가 $\sum p_i$ 값을 함께 보여 주므로 이를 확인할 수 있습니다. 계산 버튼을 누르면 분산과 관련 통계량이 표시됩니다.

공식 설명

분산은 다음과 같은 계산에 편리한 형태를 사용합니다:

$$\text{Var}(X) = \sum p_i x_i^{2} - \left(\sum p_i x_i\right)^{2}$$

여기서 $\sum p_i x_i$는 평균 $\mu = E[X]$이고, $\sum p_i x_i^{2}$는 $E[X^2]$입니다. $E[X^2]$에서 평균의 제곱을 빼면 분산이 됩니다. 이는 정의식 $\text{Var}(X) = \sum p_i (x_i - \mu)^{2}$와 대수적으로 완전히 동일하지만, 한 번에 계산하기가 더 쉽습니다. 표준편차는 단순히 $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$입니다.

평균선과 퍼짐 화살표가 있는 이산 확률 분포의 막대그래프 — 분산은 결과들이 분포의 평균 주위로 얼마나 퍼져 있는지를 측정합니다.

예제 풀이

확률변수 X가 1, 2, 3의 값을 각각 0.2, 0.5, 0.3의 확률로 가진다고 합시다. 평균은 $$\mu = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$$입니다. $$E[X^2] = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$$입니다. 따라서 $$\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^{2} = 4.9 - 4.41 = 0.49$$이고, $\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7$입니다.