이 계산기는 무엇을 하나요?
이산확률분포는 확률변수가 가질 수 있는 모든 결과와 각 결과가 나타날 확률을 함께 나열한 것입니다. 이 계산기는 값(x)과 그에 대응하는 확률(p)로 이루어진 표를 입력받아, 분포를 요약하는 세 가지 핵심 값을 즉시 계산해 줍니다. 바로 평균(기댓값), 분산, 그리고 표준편차입니다.
사용 방법
첫 번째 칸에 결과 값을 쉼표로 구분해 입력하세요(예: 1, 2, 3, 4). 두 번째 칸에는 같은 순서로 대응하는 확률을 입력합니다(예: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4). 두 목록의 개수가 같아야 하며, 확률의 합은 1이 되어야 합니다. 계산 버튼을 누르면 결과가 표시됩니다. 입력한 확률의 합도 함께 보여 주므로, 분포가 올바른지 바로 확인할 수 있습니다.
공식 설명
평균은 \(\mu\)로 표기하며, 확률을 가중치로 한 평균입니다:
$$\mu = \sum_{i} x_i \cdot p_i$$각 값에 그 확률을 곱한 뒤 모두 더하면 됩니다. 분산은 \(\sigma^{2}\)로 표기하며, 결과들이 평균을 중심으로 얼마나 퍼져 있는지를 나타냅니다:
$$\sigma^{2} = \sum_{i} \left(x_i - \mu\right)^{2} \cdot p_i$$표준편차 \(\sigma\)는 분산의 제곱근으로, 값과 같은 단위로 퍼짐의 정도를 표현합니다.
$$\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}$$
예제로 풀어보기
x = 1, 2, 3, 4이고 확률이 각각 0.1, 0.2, 0.3, 0.4라고 합시다. 평균은
$$1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.3) + 4(0.4) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.0$$입니다. 분산은
$$(1-3)^{2}(0.1) + (2-3)^{2}(0.2) + (3-3)^{2}(0.3) + (4-3)^{2}(0.4) = 0.4 + 0.2 + 0 + 0.4 = 1.0$$이므로, 표준편차는 \(\sqrt{1.0} = 1.0\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
확률의 합이 반드시 1이어야 하나요? 네, 올바른 분포가 되려면 그래야 합니다. 계산기가 확률의 합을 보여 주니 직접 확인할 수 있는데, 합이 1이 아니라면 결과는 의미가 없습니다.
분산과 표준편차는 어떻게 다른가요? 분산은 평균으로부터의 편차를 제곱한 값의 평균이고, 표준편차는 그 제곱근입니다. 표준편차는 측정값을 원래 단위로 되돌려 줍니다.
음수 값도 사용할 수 있나요? 네. 결과 값은 어떤 실수든 가능합니다. 단, 확률만큼은 0과 1 사이여야 합니다.
