Ce que fait cette calculatrice
Une loi de probabilité discrète associe à chaque issue possible d'une variable aléatoire la probabilité qui lui correspond. Cette calculatrice part de ce tableau — un ensemble de valeurs (x) et leurs probabilités (p) associées — et calcule instantanément les trois nombres qui résument la loi : l'espérance (ou valeur attendue), la variance et l'écart-type.
Comment l'utiliser
Saisissez vos valeurs d'issue dans le premier champ, séparées par des virgules (par exemple 1, 2, 3, 4). Dans le second champ, indiquez les probabilités correspondantes dans le même ordre (par exemple 0.1, 0.2, 0.3, 0.4). Veillez à ce que les deux listes comportent le même nombre d'éléments et que la somme des probabilités soit égale à 1. Cliquez sur « Calculer » pour afficher les résultats. L'outil indique également la somme de vos probabilités, ce qui vous permet de vérifier que la loi est valide.
La formule expliquée
L'espérance, notée \(\mu\), est la moyenne pondérée par les probabilités :
$$\mu = \sum_{i} x_i \cdot p_i$$Chaque valeur est multipliée par sa probabilité, puis on additionne tous les produits. La variance, notée \(\sigma^{2}\), mesure la dispersion des issues autour de l'espérance :
$$\sigma^{2} = \sum_{i} \left(x_i - \mu\right)^{2} \cdot p_i$$L'écart-type \(\sigma\) est tout simplement la racine carrée de la variance ; il exprime la dispersion dans la même unité que les valeurs.
$$\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}$$
Exemple détaillé
Supposons \(x = 1, 2, 3, 4\) avec les probabilités \(0.1, 0.2, 0.3, 0.4\). L'espérance vaut
$$1(0{,}1) + 2(0{,}2) + 3(0{,}3) + 4(0{,}4) = 0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}9 + 1{,}6 = 3{,}0$$La variance vaut
$$(1-3)^{2}(0{,}1) + (2-3)^{2}(0{,}2) + (3-3)^{2}(0{,}3) + (4-3)^{2}(0{,}4) = 0{,}4 + 0{,}2 + 0 + 0{,}4 = 1{,}0$$d'où l'écart-type \(\sqrt{1{,}0} = 1{,}0\).
FAQ
La somme des probabilités doit-elle être égale à 1 ? Oui, c'est la condition pour qu'une loi soit valide. La calculatrice affiche cette somme afin que vous puissiez le vérifier ; si elle n'est pas égale à 1, vos résultats n'auront pas de sens.
Quelle est la différence entre la variance et l'écart-type ? La variance est la moyenne des écarts au carré par rapport à l'espérance ; l'écart-type en est la racine carrée, ce qui ramène la mesure à l'unité d'origine.
Puis-je utiliser des valeurs négatives ? Oui. Les valeurs des issues peuvent être n'importe quels nombres réels ; seules les probabilités doivent être comprises entre 0 et 1.
