Калькулятор дискретного распределения вероятностей

Введите расчет

Значения (x) через запятую

Вероятности (p) через запятую

Введите одинаковое количество значений и вероятностей. Сумма вероятностей должна быть равна 1.

Результатов

Математическое ожидание (среднее) μ

3

μ = Σ xᵢ·pᵢ

Дисперсия (σ²)	1
Стандартное отклонение (σ)	1
Сумма вероятностей	1
Количество исходов	4

В корректном распределении вероятностей их сумма должна равняться 1. Если сумма выше не равна 1, проверьте введённые данные.

Что делает этот калькулятор

Дискретное распределение вероятностей перечисляет все возможные исходы случайной величины и вероятность каждого из них. Калькулятор принимает такую таблицу — набор значений \(x\) и соответствующих им вероятностей \(p\) — и мгновенно вычисляет три ключевые характеристики распределения: математическое ожидание (среднее), дисперсию и стандартное отклонение.

Как пользоваться

Введите значения исходов в первое поле через запятую (например, 1, 2, 3, 4). Во второе поле впишите соответствующие вероятности в том же порядке (например, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4). Убедитесь, что в обоих списках одинаковое количество элементов и что сумма вероятностей равна 1. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть результат. Калькулятор также покажет сумму вероятностей — так вы сможете проверить, что распределение задано корректно.

Разбор формулы

Математическое ожидание, обозначаемое \(\mu\), — это среднее с учётом вероятностей:

$$\mu = \sum_{i} x_i \cdot p_i$$

Каждое значение умножается на свою вероятность, а произведения складываются. Дисперсия, обозначаемая \(\sigma^{2}\), показывает, насколько сильно исходы разбросаны вокруг среднего:

$$\sigma^{2} = \sum_{i} \left(x_i - \mu\right)^{2} \cdot p_i$$

Стандартное отклонение \(\sigma\) — это просто квадратный корень из дисперсии; оно выражает разброс в тех же единицах, что и сами значения.

Реклама

Дисперсия \(\sigma^{2}\) показывает, насколько исходы разбросаны относительно среднего \(\mu\).

Каждый столбец показывает вероятность \(p\) исхода \(x\); среднее \(\mu\) — это точка равновесия.

Пример с решением

Пусть \(x = 1, 2, 3, 4\) с вероятностями \(0.1, 0.2, 0.3, 0.4\). Среднее равно

$$1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.3) + 4(0.4) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.0$$

Дисперсия равна

$$(1-3)^{2}(0.1) + (2-3)^{2}(0.2) + (3-3)^{2}(0.3) + (4-3)^{2}(0.4) = 0.4 + 0.2 + 0 + 0.4 = 1.0$$

поэтому стандартное отклонение составляет \(\sqrt{1.0} = 1.0\).

Частые вопросы

Обязательно ли вероятности должны давать в сумме 1? Да, для корректного распределения это необходимо. Калькулятор показывает сумму, чтобы вы могли это проверить; если она не равна 1, результаты не будут иметь смысла.

Чем дисперсия отличается от стандартного отклонения? Дисперсия — это среднее квадрата отклонения от математического ожидания; стандартное отклонение — её квадратный корень, который возвращает величину к исходным единицам измерения.

Можно ли использовать отрицательные значения? Да. Значения исходов могут быть любыми действительными числами; только вероятности обязаны находиться в диапазоне от 0 до 1.