डिस्क्रीट प्रायिकता बंटन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

मान (x), कॉमा से अलग किए हुए

प्रायिकताएँ (p), कॉमा से अलग की हुई

मानों और प्रायिकताओं की संख्या एक समान रखें। सभी प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए।

परिणाम

माध्य (प्रत्याशित मान) μ

3

μ = Σ xᵢ·pᵢ

प्रसरण (σ²)	1
मानक विचलन (σ)	1
प्रायिकताओं का योग	1
परिणामों की संख्या	4

किसी वैध प्रायिकता बंटन में सभी प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए। अगर ऊपर दिखाया गया योग 1 नहीं है, तो अपनी प्रविष्टियाँ जाँचें।

यह कैलकुलेटर क्या करता है

डिस्क्रीट प्रायिकता बंटन किसी यादृच्छिक चर (random variable) के हर संभावित परिणाम को उसकी प्रायिकता के साथ दर्शाता है। यह कैलकुलेटर उसी तालिका को लेता है — यानी मानों (x) का एक समूह और उनसे मेल खाती प्रायिकताएँ (p) — और तुरंत वे तीन संख्याएँ निकाल देता है जो पूरे बंटन का सार बताती हैं: माध्य (प्रत्याशित मान), प्रसरण और मानक विचलन।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले बॉक्स में अपने परिणाम के मान कॉमा से अलग करके लिखें (उदाहरण के लिए 1, 2, 3, 4)। दूसरे बॉक्स में उन्हीं के अनुरूप प्रायिकताएँ उसी क्रम में डालें (उदाहरण के लिए 0.1, 0.2, 0.3, 0.4)। ध्यान रखें कि दोनों सूचियों में प्रविष्टियों की संख्या एक समान हो और सभी प्रायिकताओं का योग 1 हो। परिणाम देखने के लिए कैलकुलेट पर क्लिक करें। यह टूल आपकी प्रायिकताओं का योग भी दिखाता है, ताकि आप जाँच सकें कि बंटन सही है या नहीं।

सूत्र की व्याख्या

माध्य, जिसे \(\mu\) से लिखा जाता है, प्रायिकता-भारित औसत होता है:

$$\mu = \sum_{i} x_i \cdot p_i$$

यहाँ हर मान को उसकी प्रायिकता से गुणा किया जाता है और फिर सभी गुणनफलों को जोड़ दिया जाता है। प्रसरण, जिसे \(\sigma^{2}\) से दर्शाते हैं, यह मापता है कि परिणाम माध्य के इर्द-गिर्द कितने फैले हुए हैं:

$$\sigma^{2} = \sum_{i} \left(x_i - \mu\right)^{2} \cdot p_i$$

मानक विचलन \(\sigma\) केवल प्रसरण का वर्गमूल है, जो फैलाव को मानों की मूल इकाई में ही व्यक्त करता है।

$$\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}$$

विज्ञापन

प्रसरण \(\sigma^{2}\) यह मापता है कि परिणाम माध्य \(\mu\) से कितनी दूर फैले हैं।

प्रत्येक बार किसी परिणाम \(x\) के लिए प्रायिकता \(p\) दिखाता है; माध्य \(\mu\) संतुलन बिंदु है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(x = 1, 2, 3, 4\) हैं और इनकी प्रायिकताएँ \(0.1, 0.2, 0.3, 0.4\) हैं। माध्य होगा

$$1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.3) + 4(0.4) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.0$$

प्रसरण होगा

$$(1-3)^{2}(0.1) + (2-3)^{2}(0.2) + (3-3)^{2}(0.3) + (4-3)^{2}(0.4) = 0.4 + 0.2 + 0 + 0.4 = 1.0$$

इसलिए मानक विचलन \(= \sqrt{1.0} = 1.0\)।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या सभी प्रायिकताओं का योग 1 होना ज़रूरी है? हाँ, किसी वैध बंटन के लिए यह आवश्यक है। कैलकुलेटर यह योग दिखाता है ताकि आप पुष्टि कर सकें; अगर योग 1 नहीं है, तो आपके परिणाम सार्थक नहीं होंगे।

प्रसरण और मानक विचलन में क्या अंतर है? प्रसरण माध्य से होने वाले वर्ग किए गए विचलनों का औसत है, जबकि मानक विचलन उसका वर्गमूल है, जो माप को वापस मूल इकाई में ले आता है।

क्या मैं ऋणात्मक (negative) मान इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ। परिणाम के मान कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं; केवल प्रायिकताओं का मान 0 और 1 के बीच होना चाहिए।