Qué hace esta calculadora
Una distribución de probabilidad discreta enumera todos los resultados posibles de una variable aleatoria junto con la probabilidad de cada uno. Esta calculadora toma esa tabla —un conjunto de valores \(x\) y sus probabilidades correspondientes \(p\)— y calcula al instante los tres números que resumen la distribución: la media (valor esperado), la varianza y la desviación estándar.
Cómo usarla
Escribe los valores de los resultados en el primer campo, separados por comas (por ejemplo 1, 2, 3, 4). En el segundo campo introduce las probabilidades correspondientes en el mismo orden (por ejemplo 0.1, 0.2, 0.3, 0.4). Asegúrate de que ambas listas tengan la misma cantidad de elementos y de que las probabilidades sumen 1. Pulsa calcular para ver los resultados. La herramienta también muestra la suma de tus probabilidades, así puedes comprobar que la distribución sea válida.
La fórmula explicada
La media, representada como \(\mu\), es el promedio ponderado por las probabilidades:
$$\mu = \sum_{i} x_i \cdot p_i$$Cada valor se multiplica por su probabilidad y se suman todos los productos. La varianza, escrita como \(\sigma^{2}\), mide cuánto se dispersan los resultados alrededor de la media:
$$\sigma^{2} = \sum_{i} \left(x_i - \mu\right)^{2} \cdot p_i$$La desviación estándar \(\sigma\) es simplemente la raíz cuadrada de la varianza y expresa la dispersión en las mismas unidades que los valores.
$$\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}$$
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(x = 1, 2, 3, 4\) con probabilidades \(0.1, 0.2, 0.3, 0.4\). La media es
$$1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.3) + 4(0.4) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.0$$La varianza es
$$(1-3)^{2}(0.1) + (2-3)^{2}(0.2) + (3-3)^{2}(0.3) + (4-3)^{2}(0.4) = 0.4 + 0.2 + 0 + 0.4 = 1.0$$de modo que la desviación estándar es \(\sqrt{1.0} = 1.0\).
Preguntas frecuentes
¿Las probabilidades tienen que sumar 1? Sí, para que la distribución sea válida. La calculadora muestra la suma para que puedas confirmarlo; si no da 1, los resultados no tendrán sentido.
¿Cuál es la diferencia entre varianza y desviación estándar? La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media; la desviación estándar es su raíz cuadrada, lo que devuelve la medida a las unidades originales.
¿Puedo usar valores negativos? Sí. Los valores de los resultados pueden ser cualquier número real; solo las probabilidades deben estar entre 0 y 1.
