¿Qué es la distribución del rango estudentizado?
El estadístico del rango estudentizado q mide la dispersión entre la mayor y la menor de r medias muestrales, dividida por un error estándar estimado de forma independiente con nu grados de libertad. Su distribución es la base de la prueba de la Diferencia Honestamente Significativa (DHS) de Tukey y de otros procedimientos post-hoc de comparaciones múltiples. Esta calculadora devuelve la probabilidad acumulada inferior \(P(Q \le q) = F(q, r, \nu)\) y la cola superior \(P(Q > q) = 1 - F\). Se trata de una función puramente estadística que se aplica de forma universal, sin reglas regionales.
Cómo utilizarla
Introduce cuatro valores: el cuantil \(q\) en el que se evalúa la función de distribución acumulada (FDA), el tamaño muestral \(r\) (número de medias de tratamiento incluidas en el rango, al menos 2), los grados de libertad del error \(\nu\) y el número de grupos independientes \(c\) cuyo rango máximo se toma (\(c = 1\) corresponde al rango estudentizado ordinario; \(c > 1\) modela el máximo de c experimentos independientes que comparten un mismo valor crítico). La herramienta muestra ambas probabilidades de cola.
La fórmula explicada
Para una dispersión fija x, \(H(x, r)\) es la probabilidad de que el rango de r variables normales estándar i.i.d. se mantenga por debajo de x, y se calcula como una integral de la densidad normal estándar multiplicada por \([\Phi(y) - \Phi(y - x)]\) elevado a la potencia \(r-1\). Para tener en cuenta la varianza estimada, \(H(q\sqrt{u}, r)\) se promedia frente a la densidad de escala chi-cuadrado/nu de u (con nu grados de libertad) y se eleva a la potencia c. $$F(q;r,\nu) = \int_{0}^{\infty} \frac{\nu^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)\,2^{\nu/2-1}}\, u^{\nu-1} e^{-\nu u^2/2}\,\big[H(qu,\,r)\big]^{c}\,du$$ Cuando nu es extremadamente grande la varianza se conoce con certeza, el factor de escala se reduce a \(u = 1\) y $$F = \big[H(q, r)\big]^{c}.$$
Ejemplo resuelto
Con \(q = 5{,}673\), \(r = 5\), \(\nu = 5\) y \(c = 1\) la calculadora devuelve una probabilidad acumulada inferior de aproximadamente \(0{,}95\), por lo que la cola superior es de alrededor de \(0{,}05\). Esto coincide con el valor crítico clásico de la tabla q de Tukey, de aproximadamente \(5{,}67\) para cinco grupos y cinco grados de libertad del error con \(\alpha = 0{,}05\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué mi resultado difiere ligeramente del de una tabla impresa? La probabilidad se obtiene mediante integración numérica; la precisión disminuye cuando r es grande y nu es pequeño, tal como advierte el método de origen.
¿Qué hace el parámetro c? Con \(c > 1\) se obtiene la distribución del máximo de c rangos estudentizados independientes, lo cual resulta útil cuando se reutiliza un mismo valor crítico en c experimentos independientes.
¿Y si q es cero o negativo? Un rango no puede ser negativo, así que \(F = 0\) y la probabilidad superior es 1.
