什么是学生化极差分布？
学生化极差统计量 \(q\) 衡量的是 \(r\) 个样本均值中最大值与最小值之间的差距，再除以一个由 \(\nu\) 个自由度独立估计出的标准误。该分布是 Tukey 真实显著差异检验（HSD 检验）以及其他多重比较事后检验的理论基础。本计算器会返回下侧累积概率 \(P(Q \le q) = F(q, r, \nu)\) 以及上尾概率 \(P(Q > q) = 1 - F\)。它是一个纯粹的统计函数，普遍适用，不涉及任何地区性规则。
使用方法
只需输入四个数值：要计算累积分布函数 (CDF) 的分位数 \(q\)；参与极差计算的样本数 \(r\)（即处理组均值的个数，至少为 2）；误差自由度 \(\nu\)；以及取最大极差所涉及的独立组数 \(c\)（\(c = 1\) 即普通的学生化极差；\(c > 1\) 则用于描述 \(c\) 个共用同一临界值的独立实验中极差的最大值）。计算器会同时给出下侧与上尾两个概率。
公式详解
对于给定的差距 \(x\)，\(H(x, r)\) 表示 \(r\) 个独立同分布标准正态随机变量的极差小于 \(x\) 的概率，它通过对标准正态密度函数与 \([\Phi(y) - \Phi(y - x)]\) 的 \((r-1)\) 次幂的乘积进行积分求得。为了考虑方差是估计而来的，需要将 \(H(q\sqrt{u}, r)\) 对 \(u\) 的卡方/\(\nu\) 缩放密度（具有 \(\nu\) 个自由度）求加权平均，再取 \(c\) 次幂。当 \(\nu\) 极大时，方差被视为已知，缩放退化为 \(u = 1\)，此时 $$F = \big[\,H\big(\text{Quantile } q,\ \text{Sample size } r\big)\,\big]^{\text{Groups } c}.$$
$$F(q;r,\nu) = \int_{0}^{\infty} \frac{\nu^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)\,2^{\nu/2-1}}\, u^{\nu-1} e^{-\nu u^2/2}\,\big[H(qu,\,r)\big]^{c}\,du$$计算实例
当 \(q = 5.673\)、\(r = 5\)、\(\nu = 5\)、\(c = 1\) 时，计算器返回的下侧累积概率约为 \(0.95\)，因此上尾概率约为 \(0.05\)。这与经典 Tukey \(q\) 临界值表中「5 个组、5 个误差自由度、\(\alpha = 0.05\)」对应的临界值约 \(5.67\) 完全吻合。
常见问题
为什么我的结果与纸质表格略有出入？ 概率是通过数值积分求得的；正如原始算法所指出的，当 \(r\) 较大而 \(\nu\) 较小时，计算精度会有所下降。
参数 \(c\) 有什么作用？ \(c > 1\) 给出的是 \(c\) 个独立学生化极差中最大值的分布，适用于在 \(c\) 个独立实验中重复使用同一临界值的情形。
如果 \(q\) 为零或负数会怎样？ 极差不可能为负，因此 \(F = 0\)，上尾概率为 \(1\)。
