这个计算器有什么用
本工具根据离散随机变量的概率分布，计算它的方差和标准差。你只需填入每一个可能的取值（\(x_i\)）以及该取值出现的概率（\(p_i\)），计算器就会给出方差 \(\text{Var}(X)\)、均值 \(\mu\)、\(X^2\) 的期望值，以及标准差 \(\sigma\)。方差用来衡量各个取值围绕均值的离散程度——方差越小，说明取值越集中在平均值附近；方差越大，则说明取值分布得越分散。
使用方法
在第一个输入框中以英文逗号分隔填写所有取值（例如 1, 2, 3）。在第二个输入框中按相同顺序填入对应的概率（例如 0.2, 0.5, 0.3）。所有概率之和应等于 1，计算器会显示 \(\sum p_i\) 方便你核对。点击计算，即可看到方差及其他相关统计量。
公式说明
方差采用便于计算的简化公式：
$$\text{Var}(X) = \sum p_i x_i^{2} - \left(\sum p_i x_i\right)^{2}$$
其中 \(\sum p_i x_i\) 就是均值 \(\mu = E[X]\)，而 \(\sum p_i x_i^{2}\) 即 \(E[X^2]\)。用 \(E[X^2]\) 减去均值的平方，就得到方差。这与定义式 \(\text{Var}(X) = \sum p_i(x_i - \mu)^2\) 在代数上完全等价，但只需遍历一次数据即可算出，更加方便。标准差则为 \(\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}\)。
实例演算
设 X 取值为 1、2、3，对应概率分别为 0.2、0.5、0.3。均值 $$\mu = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.$$ $$E[X^2] = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9.$$ 因此 $$\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49,$$ 标准差 \(\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7\)。
常见问题
所有概率必须加起来等于 1 吗？是的，这是有效概率分布的基本要求。计算器会显示 \(\sum p_i\) 供你确认。如果它不等于 1，计算结果就会不准确。
方差和标准差有什么区别？方差的单位是原变量单位的平方；标准差是方差的平方根，单位与 X 相同，因此更便于直观理解。
方差会是负数吗？不会。从数学上讲方差恒大于等于 0。如果算出负值，说明你输入的概率有误。
