حاسبة تباين التوزيع الاحتمالي

أدخل الحساب

القيم x (مفصولة بفواصل)

الاحتمالات p (مفصولة بفواصل)

نتائج

التباين Var(X)

٠٫٤٩

تباين التوزيع σ²

الوسط الحسابي μ = Σ pᵢxᵢ	٢٫١
القيمة المتوقعة E[X²] = Σ pᵢxᵢ²	٤٫٩
الانحراف المعياري σ	٠٫٧
Σ pᵢ (يجب أن يساوي 1)	١

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تحسب هذه الأداة التباين والانحراف المعياري لمتغير عشوائي منفصل انطلاقًا من توزيعه الاحتمالي. كل ما عليك هو إدخال كل قيمة محتملة (\(x_i\)) واحتمال حدوثها (\(p_i\))، لتعيد لك الحاسبة قيمة التباين \(\mathrm{Var}(X)\)، والوسط الحسابي \(\mu\)، والقيمة المتوقعة لـ \(X^2\)، والانحراف المعياري \(\sigma\). يقيس التباين مدى تشتت القيم حول الوسط؛ فكلما صغُر التباين دلّ ذلك على تجمّع القيم قرب المتوسط، وكلما كبُر دلّ على تباعدها وانتشارها الواسع.

كيفية الاستخدام

أدخل القيم في الخانة الأولى مفصولة بفواصل (مثل 1, 2, 3)، ثم أدخل الاحتمالات المقابلة لها بالترتيب نفسه في الخانة الثانية (مثل 0.2, 0.5, 0.3). يجب أن يكون مجموع الاحتمالات مساويًا للواحد الصحيح؛ وتعرض الحاسبة قيمة \(\sum p_i\) حتى تتمكن من التحقق من ذلك. اضغط على زر الحساب لتظهر قيمة التباين والإحصاءات المرتبطة به.

شرح الصيغة

يعتمد حساب التباين على الصيغة الحسابية المختصرة التالية:

$$\mathrm{Var}(X) = \sum p_i x_i^{2} - \left(\sum p_i x_i\right)^{2}$$

هنا يمثّل المقدار \(\sum p_i x_i\) الوسط الحسابي \(\mu = E[X]\)، بينما يمثّل \(\sum p_i x_i^{2}\) القيمة المتوقعة \(E[X^2]\). وبطرح مربّع الوسط من \(E[X^2]\) نحصل على التباين. هذه الصيغة مكافئة جبريًا للتعريف الأصلي \(\mathrm{Var}(X) = \sum p_i (x_i - \mu)^{2}\)، لكنها أسهل في الحساب وتُنجز في خطوة واحدة. أما الانحراف المعياري فهو ببساطة الجذر التربيعي للتباين: \(\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}\).

اعلان

يقيس التباين مدى تشتت النتائج حول متوسط التوزيع.

مثال محلول

لنفترض أن المتغير \(X\) يأخذ القيم 1 و2 و3 باحتمالات 0.2 و0.5 و0.3 على الترتيب. عندئذٍ يكون الوسط $$\mu = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.$$ والقيمة المتوقعة $$E[X^2] = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9.$$ وبذلك يكون التباين $$\mathrm{Var}(X) = 4.9 - 2.1^{2} = 4.9 - 4.41 = 0.49,$$ والانحراف المعياري \(\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7\).

تسهم كل نتيجة بـ \(p_i x_i\) و\(p_i x_i^{2}\) في المجموعين ضمن صيغة التباين.

الأسئلة الشائعة

هل يجب أن يساوي مجموع الاحتمالات الواحد الصحيح؟ نعم، حتى يكون التوزيع صحيحًا. تعرض الحاسبة قيمة \(\sum p_i\) لتتمكن من التأكد. وإذا لم يساوِ المجموع الواحد فستكون النتائج غير دقيقة.

ما الفرق بين التباين والانحراف المعياري؟ يُقاس التباين بوحدات مربّعة، أما الانحراف المعياري فهو جذره التربيعي ويُعبَّر عنه بالوحدة نفسها للمتغير \(X\)، مما يجعله أسهل في التفسير والفهم.

هل يمكن أن يكون التباين سالبًا؟ لا. فالتباين رياضيًا يكون دائمًا أكبر من أو يساوي الصفر. وظهور نتيجة سالبة يدل على وجود خطأ في إدخال الاحتمالات.